Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} - 2x

Câu hỏi số 399039:

Vận dụng

Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} - 2x - 3 = 0\) và \(\left( {{C_2}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 8x - 8y + 28 = 0.\)

A. \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,4x - 3y - 14 = 0\\{\Delta _2}:\,\,24x + 7y - 74 = 0\end{array} \right.\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,4x - 3y - 14 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,4x - 3y + 6 = 0\\{\Delta _3}:\,\,y - 2 = 0\\{\Delta _4}:\,\,24x + 7y - 74 = 0\end{array} \right.\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,4x - 3y - 14 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,4x - 3y + 6 = 0\end{array} \right.\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,y - 2 = 0\\{\Delta _2}:\,\,24x + 7y - 74 = 0\end{array} \right.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399039

Phương pháp giải

Xác định tâm, tính bán kính các đường tròn và vị trí tương đối của hai đường tròn.

+) Nếu hai đường tròn tiếp xúc trong nhau thì có 1 đường tiếp tuyến chung.

+) Nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau thì có 3 đường tiếp tuyến chung.

+) Nếu hai đường tròn ngoài nhau thì có 4 đường tiếp tuyến chung.

+) Nếu hai đường tròn đựng nhau thì không có tiếp tuyến chung.

+) Nếu hai đường tròn cắt nhau thì có 2 đường tiếp tuyến chung.

Gọi \(\Delta :\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right).\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{I_1};\,\,\Delta } \right) = {R_1}\\d\left( {{I_2};\,\,\Delta } \right) = {R_2}\end{array} \right..\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\left( {{C_1}} \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} - 2x - 3 = 0\) có tâm \({I_1}\left( {1;\,\,0} \right)\) và bán kính \({R_1} = \sqrt {1 + 3} = 2.\)

\(\left( {{C_2}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 8x - 8y + 28 = 0\) có tâm \({I_2}\left( {4;\,\,4} \right)\) và bán kính \({R_2} = \sqrt {{4^2} + {4^2} - 28} = 2.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{I_1}{I_2}} = \left( {3;\,\,4} \right) \Rightarrow {I_1}{I_2} = 5.\)

Lại có:\({R_1} + {R_2} = 2 + 2 = 4.\)

\( \Rightarrow {I_1}{I_2} = 5 > {R_1} + {R_2} = 4 \Rightarrow \left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) ngoài nhau.

\( \Rightarrow \) Hai đường tròn có 4 tiếp tuyến chung.

Gọi \(\Delta :\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right).\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{I_1};\,\,\Delta } \right) = {R_1}\\d\left( {{I_2};\,\,\Delta } \right) = {R_2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| {a + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\\\frac{{\left| {4a + 4b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {a + c} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left| {4a + 4b + c} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left| {a + c} \right| = \left| {4a + 4b + c} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + c = 4a + 4b + c\\a + c = - 4a - 4b - c\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3a + 4b = 0\\5a + 4b + 2c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - \frac{{4b}}{3}\\c = - \frac{{5a + 4b}}{2}\end{array} \right..\)

+) Với \(a = - \frac{{4b}}{3}\) \( \Rightarrow \left| {c - \frac{{4b}}{3}} \right| = 2\sqrt {\frac{{16}}{9}{b^2} + {b^2}} \) \( \Leftrightarrow \left| {c - \frac{{4b}}{3}} \right| = \frac{{10\left| b \right|}}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c - \frac{{4b}}{3} = \frac{{10b}}{3}\\c - \frac{{4b}}{3} = - \frac{{10b}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = \frac{{14b}}{3}\\c = - 2b\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{4b}}{3}\\c = \frac{{14b}}{3}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{4b}}{3}\\c = - 2b\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\, - \frac{4}{3}x + y + \frac{{14}}{3} = 0\\{\Delta _2}:\,\, - \frac{4}{3}x + y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,\,4x - 3y - 14 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,4x - 3y + 6 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(c = - \frac{{5a + 4b}}{2}\) \( \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left| {a - \frac{{5a - 4b}}{2}} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {3a + 4b} \right| = 4\sqrt {{a^2} + {b^2}} \Leftrightarrow {\left( {3a + 4b} \right)^2} = 16\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 9{a^2} + 24ab + 16{b^2} = 16{a^2} + 16{b^2}\\ \Leftrightarrow a\left( {7a - 24b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\7a - 24b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0 \Rightarrow c = - 2b\\a = \frac{{24b}}{7} \Rightarrow c = - \frac{{74b}}{7}\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\c = - 2b\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{24b}}{7}\\c = - \frac{{74b}}{7}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _3}:\,\,\,y - 2 = 0\\{\Delta _4}:\,\,\,\frac{{24}}{7}x + y - \frac{{74}}{7} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _3}:\,\,y - 2 = 0\\{\Delta _4}:\,\,24x + 7y - 74 = 0\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy có 4 đường tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là: \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,4x - 3y - 14 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,4x - 3y + 6 = 0\\{\Delta _3}:\,\,y - 2 = 0\\{\Delta _4}:\,\,24x + 7y - 74 = 0\end{array} \right..\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.