Cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} - 12x - 4y + 36 = 0.\) Viết phương trình đường

Câu hỏi số 399042:

Vận dụng cao

Cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} - 12x - 4y + 36 = 0.\) Viết phương trình đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tiếp xúc với hai trục tọa độ\(Ox,\,\,Oy\) đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn \(\left( C \right).\)

A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\)

B. \({\left( {x - 18} \right)^2} + {\left( {y - 18} \right)^2} = 324\)

C. \({\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} = 36\)

D. Cả ba đáp án trên đều đúng.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399042

Phương pháp giải

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tiếp xúc với hai trục tọa độ nên \({I_1} \in {d_1}:\,\,\,y = x\) hooặc \({I_1} \in {d_2}:\,\,\,y = - x.\) \( \Rightarrow {I_1}\left( {a; \pm a} \right)\,\,\,\,\,\left( {a > 0} \right).\)

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1},\) bán kính \({R_1}\) tiếp xúc ngoài với đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2},\) bán kính \({R_2}\)

\( \Rightarrow {I_1}{I_2} = {R_1} + {R_2}.\)

Giải chi tiết

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {6;\,\,2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{6^2} + {2^2} - 36} = 2.\)

TH1: Xét \({I_1}\left( {a;\,\,a} \right) \Rightarrow {R_1} = a.\)

Khi đó ta có:\(\left( C \right),\,\,\left( {{C_1}} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow I{I_1} = {R_1} + {R_2} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 6} \right)}^2} + {{\left( {a - 2} \right)}^2}} = 2 + a\\ \Leftrightarrow \sqrt {2{a^2} - 16a + 40} = a + 2\\ \Leftrightarrow 2{a^2} - 16a + 40 = {a^2} + 4a + 4\\ \Leftrightarrow {a^2} - 20a + 36 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {a - 18} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 2 = 0\\a - 18 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\,\,\left( {tm} \right)\\a = 18\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{I_1}\left( {2;\,\,2} \right)\\{R_1} = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{I_1}\left( {18;\,\,\,18} \right)\\{R_1} = 18\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {{C_1}} \right):\,\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\\\left( {{C_1}} \right):\,\,\,{\left( {x - 18} \right)^2} + {\left( {y - 18} \right)^2} = 324\end{array} \right..\end{array}\)

TH2: Xét \({I_1}\left( {a;\, - a} \right) \Rightarrow {R_1} = a.\)

Khi đó ta có:\(\left( C \right),\,\,\left( {{C_1}} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow I{I_1} = {R_1} + {R_2} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 6} \right)}^2} + {{\left( {a + 2} \right)}^2}} = 2 + a\\ \Leftrightarrow \sqrt {2{a^2} - 8a + 40} = a + 2\\ \Leftrightarrow 2{a^2} - 8a + 40 = {a^2} + 4a + 4\\ \Leftrightarrow {a^2} - 12a + 36 = 0 \Leftrightarrow {\left( {a - 6} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow a - 6 = 0 \Leftrightarrow a = 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{I_1}\left( {2;\,\,2} \right)\\{R_1} = 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {{C_1}} \right):\,\,\,{\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 36.\end{array}\)

Vậy có 3 đường tròn thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.