Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\) và \(SA\) vuông góc với đáy. Biết

Câu hỏi số 399172:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\) và \(SA\) vuông góc với đáy. Biết khoảng cách giữa \(AC\) và \(SB\) bằng \(a\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\).

A. \(\dfrac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}\)

B. \(\dfrac{{4\sqrt 2 {a^3}}}{3}\)

C. \(\sqrt 2 {a^3}\)

D. \(\dfrac{{3{a^3}}}{{\sqrt 2 }}\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:399172

Phương pháp giải

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(d\) và \(d'\) là khoảng cách từ 1 điểm trên \(d\) tới mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(d'\) và song song với \(d\).

- Dựa vào khoảng cách giữa \(AC\) và \(SB\) để tính độ dài \(SA\) và thể tích khối chóp.

Giải chi tiết

Qua \(B\), kẻ \(BE\parallel AC\,\,\left( {E \in DC} \right)\). Ta có: \(AC\parallel \left( {SBE} \right) \supset SB\).

Suy ra \(d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {AB;\left( {SBE} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right).\)

Qua \(A,\) kẻ \(AH \bot BE\,\,\,\,\left( {H \in BE} \right);\)\(AK \bot SH\left( {K \in SH} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BE\\AH \bot BE\end{array} \right\} \Rightarrow BE \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BE \bot AK\\AK \bot AH \Rightarrow AK \bot \left( {SBE} \right)\\ \Rightarrow d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right) = AK\\ \Rightarrow AK = a.\end{array}\)

Vì \(BE\parallel AC \Rightarrow \angle CBE = \angle ACB = {45^0}\) (so le trong).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle ABH = {180^0} - \angle ABC - \angle CBE\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^0} - {90^0} - {45^0} = {45^0}.\end{array}\)

Do đó, tam giác \(AHB\) vuông cân tại \(H\). Suy ra \(AH = HB = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 a.\)

Tam giác \(SAH\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AK\) nên:

\(\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{A{S^2}}} + \dfrac{1}{{A{H^2}}}\) (Hệ thức lượng)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{A{S^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 a} \right)}^2}}} \Rightarrow SA = a\sqrt 2 .\)

Vậy thể tích của khối chóp đã cho là: \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\sqrt 2 a.{\left( {2a} \right)^2} = \dfrac{{4\sqrt 2 {a^3}}}{3}.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.