Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$ và $SA$ vuông góc với đáy. Biết

Câu hỏi số 399172:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$ và $SA$ vuông góc với đáy. Biết khoảng cách giữa $AC$ và $SB$ bằng $a$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ .

\frac{2 \sqrt{2} a^{3}}{3}

$\dfrac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}$

\frac{4 \sqrt{2} a^{3}}{3}

$\dfrac{{4\sqrt 2 {a^3}}}{3}$

\sqrt{2} a^{3}

$\sqrt 2 {a^3}$

\frac{3 a^{3}}{\sqrt{2}}

$\dfrac{{3{a^3}}}{{\sqrt 2 }}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399172

Phương pháp giải

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $d$ và $d'$ là khoảng cách từ 1 điểm trên $d$ tới mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $d'$ và song song với $d$ .

- Dựa vào khoảng cách giữa $AC$ và $SB$ để tính độ dài $SA$ và thể tích khối chóp.

Giải chi tiết

Qua $B$ , kẻ $BE\parallel AC\,\,\left( {E \in DC} \right)$ . Ta có: $AC\parallel \left( {SBE} \right) \supset SB$ .

Suy ra $d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {AB;\left( {SBE} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right).$

Qua $A,$ kẻ $AH \bot BE\,\,\,\,\left( {H \in BE} \right);$ $AK \bot SH\left( {K \in SH} \right)$ .

Ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BE\\AH \bot BE\end{array} \right\} \Rightarrow BE \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BE \bot AK\\AK \bot AH \Rightarrow AK \bot \left( {SBE} \right)\\ \Rightarrow d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right) = AK\\ \Rightarrow AK = a.\end{array}$

Vì $BE\parallel AC \Rightarrow \angle CBE = \angle ACB = {45^0}$ (so le trong).

$\begin{array}{l} \Rightarrow \angle ABH = {180^0} - \angle ABC - \angle CBE\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^0} - {90^0} - {45^0} = {45^0}.\end{array}$

Do đó, tam giác $AHB$ vuông cân tại $H$ . Suy ra $AH = HB = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 a.$

Tam giác $SAH$ vuông tại $A$ có đường cao $AK$ nên:

$\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{A{S^2}}} + \dfrac{1}{{A{H^2}}}$ (Hệ thức lượng)

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{A{S^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 a} \right)}^2}}} \Rightarrow SA = a\sqrt 2 .$

Vậy thể tích của khối chóp đã cho là: ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\sqrt 2 a.{\left( {2a} \right)^2} = \dfrac{{4\sqrt 2 {a^3}}}{3}.$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.