Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\) và \(SA\) vuông góc với đáy. Biết
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\) và \(SA\) vuông góc với đáy. Biết khoảng cách giữa \(AC\) và \(SB\) bằng \(a\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(d\) và \(d'\) là khoảng cách từ 1 điểm trên \(d\) tới mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(d'\) và song song với \(d\).
- Dựa vào khoảng cách giữa \(AC\) và \(SB\) để tính độ dài \(SA\) và thể tích khối chóp.
Qua \(B\), kẻ \(BE\parallel AC\,\,\left( {E \in DC} \right)\). Ta có: \(AC\parallel \left( {SBE} \right) \supset SB\).
Suy ra \(d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {AB;\left( {SBE} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right).\)
Qua \(A,\) kẻ \(AH \bot BE\,\,\,\,\left( {H \in BE} \right);\)\(AK \bot SH\left( {K \in SH} \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BE\\AH \bot BE\end{array} \right\} \Rightarrow BE \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BE \bot AK\\AK \bot AH \Rightarrow AK \bot \left( {SBE} \right)\\ \Rightarrow d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right) = AK\\ \Rightarrow AK = a.\end{array}\)
Vì \(BE\parallel AC \Rightarrow \angle CBE = \angle ACB = {45^0}\) (so le trong).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle ABH = {180^0} - \angle ABC - \angle CBE\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^0} - {90^0} - {45^0} = {45^0}.\end{array}\)
Do đó, tam giác \(AHB\) vuông cân tại \(H\). Suy ra \(AH = HB = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 a.\)
Tam giác \(SAH\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AK\) nên:
\(\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{A{S^2}}} + \dfrac{1}{{A{H^2}}}\) (Hệ thức lượng)
\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{A{S^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 a} \right)}^2}}} \Rightarrow SA = a\sqrt 2 .\)
Vậy thể tích của khối chóp đã cho là: \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\sqrt 2 a.{\left( {2a} \right)^2} = \dfrac{{4\sqrt 2 {a^3}}}{3}.\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
