Tìm số các giá trị nguyên không dương của tham số $m$ để hàm số \(y = \dfrac{{m\ln x - 2}}{{\ln

Câu hỏi số 399178:

Vận dụng

Tìm số các giá trị nguyên không dương của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{{m\ln x - 2}}{{\ln x + m - 3}}$ đồng biến trên $\left( {{e^2}; + \infty } \right)$ là

$2$

B. vô số

$0$

$1$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399178

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ $t = \ln x$ , đưa hàm số về hàm số ẩn $t$ .

- Tìm điều kiện của ẩn phụ.

- Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ khi nó xác định và liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ đồng thời $f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)$ . (Dấu ‘=’ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm).

- Tìm các giá trị nguyên không dương của $m$ thỏa mãn.

Giải chi tiết

Đặt $t = \ln x,\,\,\,t \in \mathbb{R}.$ Hàm số đã cho trở thành $y = \dfrac{{mt - 2}}{{t + m - 3}}\,\,\,\left( {t \ne 3 - m} \right)$ (1)

Xét hàm số $t = \ln x$ với $x \in \left( {{e^2}; + \infty } \right)$ ta có: $t'\left( x \right) = \dfrac{1}{x} > 0\,\,\forall x \in \left( {{e^2}; + \infty } \right)$ .

Do đó hàm số $t = \ln x$ đồng biến trên khoảng $\left( {{e^2}; + \infty } \right)$ , do đó ta có: $t \in \left( {2; + \infty } \right)$ .

Yêu cầu bài toán trở thành : Tìm số các giá trị nguyên không dương của tham số $m$ để hàm số $y = f\left( t \right) = \dfrac{{mt - 2}}{{t + m - 3}}$ đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ .

Ta có: $f'\left( t \right) = \dfrac{{m\left( {m - 3} \right) + 2}}{{{{\left( {t + m - 3} \right)}^2}}} = \dfrac{{{m^2} - 3m + 2}}{{{{\left( {t + m - 3} \right)}^2}}}.$

Hàm số $y = f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ khi nó xác định trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ đồng thời $f'\left( t \right) \ge 0,\,\,\,\forall t \in \left( {2; + \infty } \right)$ (Dấu ‘=’ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm).

Do đó, $\left\{ \begin{array}{l}t \ne 3 - m\,\,\forall t \in \left( {2; + \infty } \right)\\{m^2} - 3m + 2 > 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - m \le 2\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2.$

Suy ra không có giá trị nguyên không dương nào của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.