Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \(\sqrt {x + y + 3} + 1 = \sqrt x + \sqrt y .\)

Câu hỏi số 399197:

Vận dụng cao

A. \(\left( {x;y} \right) = \left( {4;9} \right),\left( {9;4} \right).\)

B. \(\left( {x;y} \right) = \left( {4;9} \right).\)

C. \(\left( {x;y} \right) = \left( {9;4} \right).\)

D. \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;4} \right),\left( {4;1} \right).\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399197

Phương pháp giải

Bình phương hai vế chứng minh hai số là số chính phương.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + y + 3 + 2\sqrt {x + y + 3} + 1 = x + 2\sqrt {xy} + y\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + y + 3} = \sqrt {xy} - 2\\ \Leftrightarrow x + y + 3 = xy - 4\sqrt {xy} + 4\,\,\left( {xy > 4} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {xy} = \frac{{xy - x - y + 1}}{4}.\end{array}\)

Nếu \(xy\) không là số chính phương thì VT là số vô tỉ, VP là số hữu tỉ, vô lí.

Vậy \(xy\) là số chính phương, đặt \(xy = {n^2}\left( {n \in \mathbb{N}*,n > 4} \right).\)

Ta có \(\sqrt {x + y + 3} = \sqrt {xy} - 2\), mà \(\sqrt {x + y + 3} + 1 = \sqrt x + \sqrt y \Rightarrow \sqrt x + \sqrt y - 1 = \sqrt {xy} - 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt x + \sqrt y - 1 = \sqrt {xy} - 2\\ \Leftrightarrow \sqrt y = n - 1 - \sqrt x \\ \Leftrightarrow y = {\left( {n - 1} \right)^2} - 2\left( {n - 1} \right)\sqrt x + x\\ \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{{{{\left( {n - 1} \right)}^2} + x - y}}{{2\left( {n - 1} \right)}}.\end{array}\)

Nếu \(x\) không là số chính phương thì VT là số vô tỉ, VP là số hữu tỉ, vô lí.

Vậy \(x\) là số chính phương. Tương tự \(y\)là số chính phương.

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt x + \sqrt y - 1 = \sqrt {xy} - 2\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt y - 1} \right) = 2.\end{array}\)

Tìm được \(\left( {x;y} \right) = \left( {4;9} \right),\left( {9;4} \right).\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link