Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x - m +

Câu hỏi số 399196:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x - m + 1\) và \(\left( {d'} \right):x + \left( {m + 2} \right)y = m + 2\) trong đó \(m\) là tham số. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng nói trên thuộc một đường cố định khi \(m\) thay đổi.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399196

Phương pháp giải

Tìm các điểm cố định \({M_1},\,\,{M_2}\) mà hai đường thẳng đã cho luôn đi qua với mọi \(m.\)

Chứng minh hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau.

Khi đó hai đường thẳng đã cho luôn cắt nhau tại điểm thuộc đường tròn có đường kính là \({M_1}{M_2}.\)

Giải chi tiết

Gọi \({M_1}\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x - m + 1\) luôn đi qua với mọi \(m\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {y_1} = \left( {m + 2} \right){x_1} - m + 1\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow {y_1} = m{x_1} + 2{x_1} - m + 1\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow m\left( {{x_1} - 1} \right) = {y_1} - 2{x_1} - 1\,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} - 1 = 0\\{y_1} - 2{x_1} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{y_1} = 3\end{array} \right. \Rightarrow {M_1}\left( {1;\,\,3} \right).\end{array}\)

Vậy \(\left( d \right)\) luôn đi qua điểm cố định \({M_1}\left( {1;\,3} \right)\) với mọi \(m.\)

Gọi \({M_2}\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng \(\left( {d'} \right):x + \left( {m + 2} \right)y = m + 2\) luôn đi qua với mọi \(m\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {d'} \right):{x_2} + \left( {m + 2} \right){y_2} = m + 2\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow {x_2} + m{y_2} + 2{y_2} = m + 2\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow m\left( {{y_2} - 1} \right) = 2 - {x_2} - 2{y_2}\,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_2} - 1 = 0\\2 - {x_2} - 2{y_2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 0\\{y_2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow {M_2}\left( {0;\,\,1} \right).\end{array}\)

Vậy \(\left( {d'} \right)\) luôn đi qua điểm cố định \({M_2}\left( {0;\,\,1} \right)\) với mọi \(m.\)

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = \left( {m + 2} \right)x - m + 1\\x + \left( {m + 2} \right)y = m + 2\end{array} \right.\)

+) Với \(m = - 2\) thì \(\left( d \right):y = 3\) và \(\left( {d'} \right):x = 0\) vuông góc với nhau.

\( \Rightarrow \) Giao điểm của \(\left( d \right),\,\,\left( {d'} \right)\) là: \(M\left( {0;\,\,3} \right).\)

+) Với \(m \ne - 2\) thì \(\left( {d'} \right):y = - \frac{1}{{m + 2}}x + 1\) vuông góc với \(\left( d \right)\) vì \( - \frac{1}{{m + 2}}.\left( {m + 2} \right) = - 1.\)

Vậy \(\left( d \right) \bot \left( {d'} \right)\) với mọi \(m.\)

Vậy giao điểm của hai đường thẳng trên luôn thuộc đường tròn đường kính \({M_1}{M_2}\) khi \(m\) thay đổi.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link