Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\)là tam giác vuông tại \(B\), \(\angle ACB =

Câu hỏi số 399898:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\)là tam giác vuông tại \(B\), \(\angle ACB = {60^0}\), cạnh \(BC = a\), đường chéo \(A'B\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) một góc \({30^0}\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là:

A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

C. \({a^3}\sqrt 3 \)

D. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399898

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\): góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

- Tính độ dài đường cao \(AA'\) và diện tích đáy \({S_{\Delta ABC}}\).

- Tính thể tích khối lăng trụ theo công thức \(V = Sh\).

Giải chi tiết

Vì \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AB\) là hình chiếu vuông góc của \(A'B\) lên \(\left( {ABC} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {A'B;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'B;AB} \right) = \angle A'BA = {30^0}\)

Xét tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(B\), \(BC = a\), \(\angle ACB = {60^0}\) có: \(AB = BC.\tan {60^0} = a\sqrt 3 .\)

Vì \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \supset AB \Rightarrow AA' \bot AB \Rightarrow \Delta ABA'\) vuông tại \(A\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AA' = AB.\tan \angle A'BA\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = a\sqrt 3 .\tan {30^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = a\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = a\end{array}\)

Có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}a\sqrt 3 .a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\)

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.