Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho đường tròn hai đường tròn \(\left( {{C_1}}

Câu hỏi số 400795:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho đường tròn hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):\,\,{x^2} + {\rm{ }}{y^2}--2x--2y + 1 = 0,\,\)\(({C_2}):\,\,{x^2} + {\rm{ }}{y^2} + 4x--5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) cùng đi qua \(M\left( {1;\,\,0} \right)\). Phương trình đường thẳng \(d\) qua \(M\) cắt hai đường tròn \(\left( C \right)\) và \(\left( {C'} \right)\) lần lượt tạị \(A\) và \(B\) sao cho \(MA = 2MB\).

A. \(d:6x + y + 6 = 0\) hoặc \(d:6x - y + 6 = 0\)

B. \(d:6x - y - 6 = 0\) hoặc \(d:6x - y + 6 = 0\)

C. \(d: - 6x + y - 6 = 0\) hoặc \(d:6x - y - 6 = 0\)

D. \(d:6x + y - 6 = 0\) hoặc \(d:6x - y - 6 = 0\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400795

Phương pháp giải

+ Xác định tọa độ của hai điểm \(A\) và \(B\)lần lượt là giao điểm của đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) với \(d\).

+ Xác định tọa độ thỏa mãn đề bài: \(MA = 2MB\)

Giải chi tiết

Giả sử đường thẳng \(d\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) lần lượt tại hai điểm \(A\) và \(B\).

Ta có:

\(\left( {{C_1}} \right):\,\,{x^2} + {\rm{ }}{y^2}--2x--2y + 1 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{I_1}\left( {1;\,\,1} \right)\\{R_1} = 1\end{array} \right.\)

\(({C_2}):\,\,{x^2} + {\rm{ }}{y^2} + 4x--5 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( { - 2;\,\,0} \right)\\{R_2} = 3\end{array} \right.\)

Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(M\) có véc tơ chỉ phương \(\vec u = \left( {a;\,\,b} \right) \Rightarrow d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + at\\y = bt\end{array} \right.\).

Đường thẳng \(d\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) tại \(A\) nên tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\rm{ }}{y^2}--2x--2y + 1 = 0\\x = 1 + at\\y = bt\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {1 + at} \right)^2} + {b^2}{t^2} - 2\left( {1 + at} \right) - 2bt + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 1 + 2at + {a^2}{t^2} + {b^2}{t^2} - 2 - 2at - 2bt + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow {a^2}{t^2} + {b^2}{t^2} - 2bt = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right){t^2} - 2bt = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \frac{{2b}}{{{a^2} + {b^2}}}\end{array} \right.\)

Với \(t = 0 \Rightarrow M\left( {1;\,\,0} \right)\)

Với \(t = \frac{{2b}}{{{a^2} + {b^2}}} \Rightarrow A\left( {1 + \frac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}};\frac{{2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\)

Đường thẳng \(d\) cắt \(\left( {{C_2}} \right)\) tại \(B\) nên tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\rm{ }}{y^2} + 4x--5 = 0\\x = 1 + at\\y = bt\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {1 + at} \right)^2} + {b^2}{t^2} + 4.\left( {1 + at} \right) - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right){t^2} + 6at = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = - \frac{{6a}}{{{a^2} + {b^2}}}\end{array} \right.\)

Với \(t = 0 \Rightarrow M\left( {1;\,\,0} \right)\)

Với \(t = - \frac{{6a}}{{{a^2} + {b^2}}}\)\( \Rightarrow B\left( {1 - \frac{{6{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}};\,\, - \frac{{6ab}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\)

Theo đề bài, ta có: \(MA = 2MB \Leftrightarrow M{A^2} = 4M{B^2}\)

\( \Rightarrow {\left( {\frac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)^2} = 4\left[ {{{\left( {\frac{{6{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{6ab}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)}^2}} \right]\)

\( \Leftrightarrow \frac{{4{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 4.\frac{{36{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} \Leftrightarrow {b^2} = 36{a^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 6a\\b = - 6a\end{array} \right.\)

Với \(b = - 6a \Rightarrow d:6x + y - 6 = 0\)

Với \(b = 6a \Rightarrow d:6x - y - 6 = 0\)

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.