Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} = 13\) và \(\left(

Câu hỏi số 400798:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} = 13\) và \(\left( {{C_2}} \right):\;{\left( {x - 6} \right)^2} + {y^2} = 25\) cắt nhau tại \(A\left( {2;\,\,3} \right)\). Các phương trình đường thẳng\(d\) đi qua \(A\) và cắt \(\left( {{C_1}} \right),\,\,\;\left( {{C_2}} \right)\) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.

A. \(d:x - 2 = 0\) và \(d:2x - 3y + 5 = 0\)

B. \(d:x - 2 = 0\) và \(d:2x - 3y - 5 = 0\).

C. \(d:x + 2 = 0\) và \(d:2x - 3y - 5 = 0\)

D. \(d:x - 2 = 0\) và \(d:2x + 3y + 5 = 0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400798

Phương pháp giải

+ Xác định tâm và bán kính của đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\).

+ Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và nhận \(\vec u = \left( {a;\,\,b} \right)\) là VTCP.

+ Xác định tọa độ \(B\) và \(C\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) với \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\).

+ Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau thì \(A\) là trung điểm của \(BC\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( {{C_1}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} = 13 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( {0;0} \right)\\{R_1} = \sqrt {13} \end{array} \right.\) và \(\left( {{C_2}} \right):\,\;{\left( {x - 6} \right)^2} + {y^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}J\left( {6;\,\,0} \right)\\{R_2} = \sqrt {25} \end{array} \right.\)

Gọi đường thẳng \(d\) qua \(A\left( {2;\,\,3} \right)\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 3 + bt\end{array} \right.\).

Vì \(d\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) tại \(A\), \(B\) nên tọa điểm \(A\) và \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 3 + bt\\{x^2} + {y^2} = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\left( {{a^2} + {b^2}} \right){t^2} + 2\left( {2a + 3b} \right)t} \right] = 0 \Rightarrow t = - \frac{{2a + 3b}}{{{a^2} + {b^2}}}\) \( \Rightarrow B\left( {\frac{{b\left( {2b - 3a} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}};\,\,\frac{{a\left( {3a - 2b} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\).

Tương tự \(d\) cắt \(\left( {{C_2}} \right)\) tại \(A\), \(C\) thì tọa độ của \(A\),\(C\) là nghiệm của hệ phương trình:

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 3 + bt\\{\left( {x - 6} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow t = \frac{{2\left( {4a - 3b} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} \Leftrightarrow C\left( {\frac{{10{a^2} - 6ab + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}};\,\,\frac{{3{a^2} + 8ab - 3{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\)

Nếu 2 dây cung bằng nhau thì \(A\) là trung điểm của \(BC\). Từ đó ta có phương trình :

\(a = 0 \Rightarrow d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3 + t\end{array} \right.\)

\(a = \frac{3}{2}b \Rightarrow \vec u = \left( {\frac{3}{2}b;\,\,b} \right){\rm{ // }}\overrightarrow {u'} = \left( {3;\,\,2} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {2{b^2} - 3ab} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{10{a^2} - 6ab + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 4 \Leftrightarrow 6{a^2} - 9ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Vậy có 2 đường thẳng \(d\) là: \(d:x - 2 = 0\) và \(d:2x - 3y + 5 = 0\).

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.