Biết rằng \(b > 0,\,\,a + b = 5\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - \sqrt {1 -

Câu hỏi số 400800:

Vận dụng

Biết rằng \(b > 0,\,\,a + b = 5\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - \sqrt {1 - bx} }}{x} = 2\). Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. \({a^2} + {b^2} > 10\)

B. \({a^2} - {b^2} > 6\)

C. \(a - b \ge 0\)

D. \(1 \le a \le 3\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400800

Phương pháp giải

- Tách tử thành các giới hạn \(\dfrac{0}{0}\).

- Sử dụng phương pháp nhân liên hợp để khử dạng \(\dfrac{0}{0}\), từ đó tính giới hạn của hàm số.

- Giải hệ phương trình tìm \(a,\,\,b\). Thay vào các đáp án để tìm đáp án sai.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - \sqrt {1 - bx} }}{x} = 2\\ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - 1}}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 - \sqrt {1 - bx} }}{x} = 2\\ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ax + 1 - 1}}{{x\left( {{{\sqrt[3]{{ax + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{ax + 1}} + 1} \right)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 - 1 + bx}}{{x\left( {1 + \sqrt {1 - bx} } \right)}} = 2\\ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{{{{\sqrt[3]{{ax + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{ax + 1}} + 1}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{b}{{1 + \sqrt {1 - bx} }} = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{a}{3} + \dfrac{b}{2} = 2\end{array}\)

Kết hợp với đề bài ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{3} + \dfrac{b}{2} = 2\\a + b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right.\).

Khi đó ta có:

\({a^2} + {b^2} = {3^2} + {2^2} = 13 > 10 \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

\({a^2} - {b^2} = {3^2} - {2^2} = 5 < 6 \Rightarrow \) Đáp án B sai.

\(a - b = 3 - 2 = 1 \ge 0 \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

\(a = 3 \Rightarrow 1 \le a \le 3 \Rightarrow \) Đáp án D đúng.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.