Xét các số phức z thoả mãn \(\left| {z + 1 - 2i} \right| = \sqrt 2 \), giá trị lớn nhất của \({\left|
Xét các số phức z thoả mãn \(\left| {z + 1 - 2i} \right| = \sqrt 2 \), giá trị lớn nhất của \({\left| {z + 1} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2}\) là:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Sử dụng phương pháp hình học xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\).
- Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - \left( {a + bi} \right)} \right| = R\) là đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R\).
- Gọi \(M,\,\,A,\,\,B\) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức \(z,\,\, - 1,\,\,i\). Xác định tọa độ các điểm \(M,\,\,A,\,\,B\). Đưa biểu thức \({\left| {z + 1} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2}\)về biểu thức trong hình học (\(M{A^2} - M{B^2}\)).
- Xác định yếu tố cố định, yếu tố thay đổi, từ đó tìm GTLN.
Giả sử \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) và \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức \(z\) trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).
Ta có : \(\left| {z + 1 - 2i} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {z - \left( { - 1 + 2i} \right)} \right| = \sqrt 2 .\)
\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 2 \).
Gọi \(A\left( { - 1;0} \right),\,B\left( {0;1} \right)\) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức \({z_1} = - 1,\,\,{z_2} = i\).
Ta có: \(T = {\left| {\left( {x + 1} \right) + yi} \right|^2} - {\left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right|^2} = M{A^2} - M{B^2}.\)
\(\begin{array}{l} = {\overrightarrow {MA} ^2} - {\overrightarrow {MB} ^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = M{I^2} + 2.\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + I{A^2} - M{I^2} - 2.\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} - I{B^2}\\ = {2^2} - {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 2.\overrightarrow {MI} .\left( {\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IB} } \right)\\ = 2 + 2.\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {AB} \\ = 2 + 2.MI.AB.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {MI} ;\overrightarrow {BA} } \right)\\ \le 2 + 2MI.AB\end{array}\)
Ta có: \(M \in \left( {I;\sqrt 2 } \right) \Rightarrow MI = \sqrt 2 \), \(AB = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \).
\( \Rightarrow T \le 2 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 2 = 6\).
Vậy \({T_{{\rm{max}}}} = 6\) khi và chỉ khi \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {MI} ;\overrightarrow {BA} } \right) = 1\) hay hai vectơ \(\overrightarrow {MI} ,\,\,\overrightarrow {BA} \) cùng hướng.
Chọn D.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
