Cho tham số thực \(m\), biết rằng phương trình \({4^x} - \left( {m + 4} \right){2^x} + 2 = 0\) có hai

Câu hỏi số 400968:

Vận dụng

Cho tham số thực \(m\), biết rằng phương trình \({4^x} - \left( {m + 4} \right){2^x} + 2 = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thoả mãn \(\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 4\). Giá trị của m thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {3;5} \right)\).

B. \(\left( {5; + \infty } \right)\).

C. \(\left( {1;3} \right)\).

D. \(\left( { - \infty ;1} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400968

Phương pháp giải

- Đặt \({2^x} = t > 0\), đưa phương trình đã cho \({4^x} - \left( {m + 4} \right){2^x} + 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\)về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\) (2).

- Phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) \( \Leftrightarrow \) Phương trình (2) có 2 nghiệm thực dương phân biệt \({t_1},\,\,{t_2}\), tìm điều kiện để phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt: \(\Delta > 0,\,\,S > 0,\,\,P > 0\).

- Áp dụng định lí Vi-ét tìm \({t_1} + {t_2}\), \({t_1}{t_2}\).

- Dựa vào giả thiết \(\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 4\) tìm tổng \(S' = {x_1} + {x_2},\,\,P' = {x_1}{x_2}\).

- Tìm \({x_1},\,\,{x_2}\) là nghiệm của phương trình \({S^2} - S'X + P' = 0\) (Định lí Vi-ét đảo).

- Thay vào tổng hai nghiệm \(t\) tìm \(m\), đối chiếu điều kiện.

Giải chi tiết

Ta có: \({4^x} - \left( {m + 4} \right){2^x} + 2 = 0\) (1)

Đặt \({2^x} = t > 0\), phương trình (1) trở thành : \({t^2} - \left( {m + 4} \right)t + 2 = 0\) (2)

Phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) \( \Leftrightarrow \) Phương trình (2) có 2 nghiệm thực dương phân biệt \({t_1},\,\,{t_2}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 4} \right)^2} - 8 > 0\\m + 4 > 0\\2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\sqrt 2 - 4\\m < - 2\sqrt 2 - 4\end{array} \right.\\m > - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\sqrt 2 - 4.\)

Áp dụng định lí Vi-ét ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = m + 4\\{t_1}{t_2} = 2\end{array} \right.\).

Ta có: \({x_1} = {\log _2}{t_1},\,\,{x_2} = {\log _2}{t_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} = {\log _2}\left( {{t_1}.{t_2}} \right) = {\log _2}2 = 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 4 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 = 4\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + 2 = 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} = - 2\end{array}\)

\( \Rightarrow \)\({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - X - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 2\\X = - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2\\{x_2} = - 1\end{array} \right.\) hoặc \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 1\\{x_2} = 2\end{array} \right.\).

Khi đó: \({t_1} + {t_2} = {2^2} + {2^{ - 1}} = \dfrac{9}{2}\)\( \Leftrightarrow m + 4 = \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy \(m = \dfrac{1}{2} \in \left( { - \infty ;1} \right).\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.