Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thoả mãn

Câu hỏi số 400973:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thoả mãn \(f\left( x \right) = x\left[ {\sin \,x + f'\left( x \right)} \right] + {\rm{cos}}\,x\) và \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{\pi }{2}\). Giá trị của \(f\left( \pi \right)\) bằng

A. \(1 + \pi \).

B. \( - 1 + \pi \).

C. \(1 + \dfrac{\pi }{2}\).

D. \( - 1 + \dfrac{\pi }{2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400973

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính đạo hàm: \({\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right)^\prime } = \dfrac{{f'\left( x \right).g\left( x \right) - g'\left( x \right).f\left( x \right)}}{{{g^2}\left( x \right)}}.\)

Giải chi tiết

Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = x\left[ {\sin x + f'\left( x \right)} \right] + {\rm{cos}}\,x\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = x\sin x + xf'\left( x \right) + \cos x\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) - xf'\left( x \right) = x\sin x + {\rm{cos}}\,x\\ \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right) - xf'\left( x \right)}}{{{x^2}}} = \dfrac{{x\sin x + {\rm{cos}}\,x}}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{xf'\left( x \right) - f\left( x \right)}}{{{x^2}}} = \dfrac{{ - x\sin x - {\rm{cos}}\,x}}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow {\left[ {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}} \right]^\prime } = {\left( {\dfrac{{{\rm{cos}}\,x}}{x}} \right)^\prime }\\ \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = \dfrac{{{\rm{cos}}\,x}}{x} + C \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\rm{cos}}\,x + Cx\end{array}\)

Mà \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{\pi }{2}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{2} = \cos \dfrac{\pi }{2} + C.\dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow C = 1.\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = {\rm{cos}}\,x + x \Rightarrow f\left( \pi \right) = {\rm{cos}}\,\pi + \pi = - 1 + \pi .\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.