Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right) + x + 3 - 4\sqrt {x - 1} = m\) có 2 nghiệm phân biệt?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Đặt \(t = \sqrt {x - 1} - 1\,\,\left( {t \ge - 1} \right)\), đưa phương trình về dạng phương trình ẩn \(t\).
- Đặt \(g\left( t \right)\) là VT, khảo sát và lập BBT của hàm số \(g\left( t \right)\) với \(t \ge - 1\).
- Số nghiệm của phương trình \(g\left( t \right) = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = g\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.
ĐKXĐ: \(x \ge 1\).
Đặt \(t = \sqrt {x - 1} - 1\,\,\left( {t \ge - 1} \right)\)\( \Rightarrow \sqrt {x - 1} = t + 1 \Leftrightarrow x = {\left( {t + 1} \right)^2} + 1\).
Nhận xét : Với mỗi giá trị của \(t \ge - 1\) tương ứng cho đúng 1 giá trị \(x \ge 1\).
Do đó, phương trình \(f\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right) + x + 3 - 4\sqrt {x - 1} = m\) có hai nghiệm phân biệt (\(x \ge 1\)) \( \Leftrightarrow \) Phương trình \(f\left( t \right) + {\left( {t + 1} \right)^2} + 1 + 3 - 4\left( {t + 1} \right) = m\) (*) có 2 nghiệm phân biệt \(t \ge - 1.\)
Phương trình (*) \( \Leftrightarrow f\left( t \right) + {t^2} - 2t + 1 = m\) (2*)
Đặt \(g\left( t \right) = f\left( t \right) + {t^2} - 2t + 1\,\,\left( {t \ge - 1} \right)\) ta có:\(g'\left( t \right) = f'\left( t \right) + 2t - 2\,\,\left( {t \ge - 1} \right).\)
Cho \(g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) + 2t - 2 = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) = 2 - 2t\). Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 2 - 2t\).
Ta có đồ thị hàm số như sau:
Dựa vào đồ thị hàm ta thấy phương trình \(g'\left( t \right) = 0\) có duy nhất nghiệm \(t = 1\).
Ta có BBT sau:
Với: \(g\left( 1 \right) = f\left( { - 1} \right) + {\left( { - 1} \right)^2} + 2\left( { - 1} \right) + 1 = 7\), \(g\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) = - 1\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( t \right) + {t^2} - 2t + 1} \right) = + \infty \).
Số nghiệm của phương trình (2*) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = g\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.
Như vậy, phương trình (2*) có 2 nghiệm phân biệt thoả mãn \(t \ge - 1 \Leftrightarrow - 1 < m \le 7.\)
Mà \(m\) là số nguyên \( \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3;...;7} \right\}\).
Vậy có 8 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
