Giải hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = 3 +

Câu hỏi số 401154:

Vận dụng

Giải hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = 3 + {x^2}{y^2}\\\dfrac{1}{{{x^3}}} + \dfrac{1}{{{y^3}}} + 3 = {x^3}{y^3}\end{array} \right.\)

A. \((x;y) \in \left\{ {\left( {\dfrac{{2 + \sqrt {58} }}{9};\dfrac{{2 - \sqrt {58} }}{9}} \right);\left( {\dfrac{{2 + \sqrt {58} }}{9};\dfrac{{2 + \sqrt {58} }}{9}} \right)} \right\}\)

B. \((x;y) \in \left\{ {\left( {\dfrac{{2 + \sqrt {58} }}{9};\dfrac{{2 - \sqrt {58} }}{9}} \right);\left( {\dfrac{{2 - \sqrt {58} }}{9};\dfrac{{2- \sqrt {58} }}{9}} \right)} \right\}\)

C. \((x;y) \in \left\{ {\left( {\dfrac{{2 - \sqrt {58} }}{9};\dfrac{{2 - \sqrt {58} }}{9}} \right);\left( {\dfrac{{2 - \sqrt {58} }}{9};\dfrac{{2 + \sqrt {58} }}{9}} \right)} \right\}\)

D. \((x;y) \in \left\{ {\left( {\dfrac{{2 + \sqrt {58} }}{9};\dfrac{{2 - \sqrt {58} }}{9}} \right);\left( {\dfrac{{2 - \sqrt {58} }}{9};\dfrac{{2 + \sqrt {58} }}{9}} \right)} \right\}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:401154

Phương pháp giải

Từ phương trình thứ hai, sử dụng hằng đẳng thức \({a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \dfrac{{a + b + c}}{2}.\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right]\), rút ra mối quan hệ giữa \(x,\,\,y\).

Thế vào phương trình thứ nhất, đưa phương trình về dạng phương trình 1 ẩn.

Sử dụng định lí Ví-ét đảo: Hai số \(x,\,\,y\) có tổng \(S = x + y\) và tích \(P = xy\) thỏa mãn \({S^2} \ge 4P\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - SX + P = 0\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ:\(x \ne 0;y \ne 0\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{{x^3}}} + \dfrac{1}{{{y^3}}} + 3 = {x^3}{y^3}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{x}} \right)^3} + {\left( {\dfrac{1}{y}} \right)^3} + {\left( { - xy} \right)^3} = 3.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}.\left( { - xy} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{x}} \right)^3} + {\left( {\dfrac{1}{y}} \right)^3} + {\left( { - xy} \right)^3} - 3.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}.\left( { - xy} \right) = 0\end{array}\)

Sử dụng hằng đẳng thức :

\(\begin{array}{l}{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \dfrac{{a + b + c}}{2}.\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right]\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \dfrac{{a + b + c}}{2}.\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\{\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\a = b = c\end{array} \right.\end{array}\)

Ta thu được: \((2) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} - xy = 0\\\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{y} = - xy\end{array} \right.\)

+ TH1: \(\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{y} = - xy \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\1 = - {x^2}y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 1\end{array} \right.\).

Thử vào (1) ta có: \(\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1} = 3 + 1\) (Vô lí) \( \Rightarrow \left( { - 1; - 1} \right)\) không phải là nghiệm của hệ phương trình.

+ TH2: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} - xy = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = xy \Leftrightarrow x + y = {\left( {xy} \right)^2}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}(1) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 3{x^2}{y^2} + {x^4}{y^4}\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 3{x^2}{y^2} + {x^4}{y^4}\end{array}\)

Thay \(x + y = {\left( {xy} \right)^2}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^4}{y^4} - 2xy = 3{x^2}{y^2} + {x^4}{y^4}\\ \Leftrightarrow xy\left( {3xy + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow xy = - \dfrac{2}{3}\end{array}\)

(do có điều kiện \(xy \ne 0\))

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = {\left( {xy} \right)^2} = \dfrac{4}{9}\\xy = - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow x,\,\,y\) là các nghiệm của phương trình: \({X^2} - \dfrac{4}{9}X - \dfrac{2}{3} = 0\) (Định lí Vi-ét đảo) \( \Leftrightarrow X = \dfrac{{2 \pm \sqrt {59} }}{9}\).

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {\dfrac{{2 + \sqrt {58} }}{9};\dfrac{{2 - \sqrt {58} }}{9}} \right);\left( {\dfrac{{2 - \sqrt {58} }}{9};\dfrac{{2 + \sqrt {58} }}{9}} \right)} \right\}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link