Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo

Câu hỏi số 401204:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \({d_1}:\,\,\,\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{3} = \dfrac{{z + 4}}{{ - 5}}\) và \({d_2}:\,\,\dfrac{{x + 1}}{3} = \dfrac{{y - 4}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 4}}{{ - 1}}\) có phương trình

A. \(\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{3} = \dfrac{{z - 3}}{4}.\)

B. \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 2}}{3} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 1}}.\)

C. \(\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{{z - 3}}{2}.\)

D. \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:401204

Phương pháp giải

- Đường thẳng \(d\) là đường vuông góc chung với hai đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\) khi và chỉ khi đường thẳng \(d\) cắt và vuông góc với cả 2 đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\).

- Gọi \(A = d \cap {d_1},\,\,B = d \cap {d_2}\), tham số hóa tọa độ điểm \(A,\,\,B\) theo biến \({t_1},\,\,{t_2}\).

- Gọi \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} \) lần lượt là 1 VTCP của đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\).

- Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {AB} = 0\\\overrightarrow {{u_2}} .\overrightarrow {AB} = 0\end{array} \right.\) tìm nghiệm \({t_1},\,\,{t_2}\), từ đó tìm tọa độ điểm \(A,\,\,B\).

- Đường thẳng \(d\) cần tìm là đường thẳng đi qua \(A\) và có 1 VTCP là \(\overrightarrow {AB} \).

- Phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {AB} \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình:

\(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\).

Giải chi tiết

Gọi \(d\) là đường vuông góc chung của \({d_1},\,\,{d_2}\).

Gọi \(A = d \cap {d_1},\,\,B = d \cap {d_2}\), ta giả sử \(A\left( {2 + 2{t_1};\,\,3 + 3{t_1};\,\, - 4 - 5{t_1}} \right)\), \(B\left( { - 1 + 3{t_2};\,\,4 - 2{t_2};\,\,4 - {t_2}} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {3{t_2} - 2{t_1} - 3; - 2{t_2} - 3{t_1} + 1; - {t_2} + 5{t_1} + 8} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {2;3; - 5} \right),\,\,\overrightarrow {{u_2}} \left( {3; - 2; - 1} \right)\) lần lượt là 1 VTCP của đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot {d_1}\\d \bot {d_2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {3{t_2} - 2{t_1} - 3} \right) + 3\left( { - 2{t_2} - 3{t_1} + 1} \right) - 5\left( { - {t_2} + 5{t_1} + 8} \right) = 0\\3\left( {3{t_2} - 2{t_1} - 3} \right) - 2\left( { - 2{t_2} - 3{t_1} + 1} \right) - 1\left( { - {t_2} + 5{t_1} + 8} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{t_2} - 38{t_1} - 43 = 0\\14{t_2} - 5{t_2} - 19 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = - 1\\{t_2} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow A\left( {0;0;1} \right),\,\,B\left( {2;2;3} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} \left( {2;2;2} \right)\end{array}\)

Vậy đường thẳng vuông góc chung của \({d_1},\,\,{d_2}\) đi qua \(A\left( {0;0;1} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {1;1;1} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow {AB} \left( {2;2;2} \right)\) có phương trình là: \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.