Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right);\)\(B\left( {3;2; - 1}

Câu hỏi số 401207:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right);\)\(B\left( {3;2; - 1} \right);\)\(C\left( {0;2;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y - 2z - 6 = 0\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(S = a + b + c.\)

A. \(S = 3\).

B. \(S = 4\).

C. \(S = - 3\).

D. \(S = 0\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:401207

Phương pháp giải

- Tìm tọa độ điểm I sao cho \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

- Tìm \(M\) là hình chiếu của \(I\) trên \(\left( P \right)\).

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IA} = \left( {1 - x; - 2 - y;3 - z} \right)\\\overrightarrow {IB} = \left( {3 - x;2 - y; - 1 - z} \right)\\\overrightarrow {IC} = \left( { - x;2 - y;1 - z} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \left( { - 4x + 4; - 4y + 4; - 4z + 4} \right) = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4x + 4 = 0\\ - 4y + 4 = 0\\ - 4z + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;1;1} \right)\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right|\\ = \left| {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IB} } \right|\\ = \left| {4\overrightarrow {MI} + \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} } \right)} \right|\\ = \left| {4\overrightarrow {MI} } \right| = 4MI\end{array}\)

\( \Rightarrow {\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right)_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }}\), khi đó \(M\) là hình chiếu của \(I\) trên \(\left( P \right)\).

Phương trình đường thẳng \(MI\) đi qua \(I\left( {1;1;1} \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\).

\(M\) là hình chiếu của \(I\) lên \(\left( P \right)\) suy ra tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 1 - 2t\\x + y - 2z - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 1 - 2t\\1 + t + 1 + t - 2 + 4t - 6 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 1 - 2t\\6t - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\\z = - 1\\t = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;2; - 1} \right)\\ \Rightarrow a = 2,\,\,b = 2,\,\,c = - 1\\ \Rightarrow S = a + b + c = 2 + 2 + \left( { - 1} \right) = 3.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.