Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(xf\left( {{x^3}} \right) + f\left( {1 - {x^2}} \right) =  - {x^{10}} + {x^6} - 2x,\)  \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \) bằng:

Câu 401664: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(xf\left( {{x^3}} \right) + f\left( {1 - {x^2}} \right) =  - {x^{10}} + {x^6} - 2x,\)  \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \( - \dfrac{{17}}{{20}}\)         

B. \( - \dfrac{{13}}{4}\)

C. \(\dfrac{{17}}{4}\)

D. \( - 1\)

Câu hỏi : 401664
  • Đáp án : B
    (1) bình luận (0) lời giải

    Giải chi tiết:

    \(xf\left( {{x^3}} \right) + f\left( {1 - {x^2}} \right) =  - {x^{10}} + {x^6} - 2x\)

    Nhân hai vế với \(3x\) ta có:

    \(3{x^2}f\left( {{x^3}} \right) + 3xf\left( {1 - {x^2}} \right) =  - 3{x^{11}} + 3{x^7} - 6{x^2}\left( 1 \right)\)

    Lấp tích phân hai vế từ \( - 1\) đến \(0\) ta có:

    \(\begin{array}{l}\int\limits_{ - 1}^0 {3{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx}  + \int\limits_{ - 1}^0 {3xf\left( {1 - {x^2}} \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - 3{x^{11}} + 3{x^7} - 2x} \right)dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {3{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx}  + \int\limits_{ - 1}^0 {3xf\left( {1 - {x^2}} \right)dx}  =  - \frac{{17}}{8}\end{array}\)

    Ta có: \(\int\limits_{ - 1}^0 {3{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( {{x^3}} \right)d\left( {{x^3}} \right)}  = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( t \right)dt} \)

    \(\int\limits_{ - 1}^0 {3xf\left( {1 - {x^2}} \right)dx}  =  - \frac{3}{2}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( {1 - {x^2}} \right)d\left( {1 - {x^2}} \right)} \)\( =  - \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} \)

    Do đó \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( t \right)dt}  - \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt}  =  - \frac{{17}}{8}\) (2)

    Lấp tích phân hai vế của (1) từ 0 đến 1 ta có:

    \(\int\limits_0^1 {3{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx}  = \int\limits_0^1 {f\left( {{x^3}} \right)d\left( {{x^3}} \right)}  = \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} \)

    \(\int\limits_0^1 {3xf\left( {1 - {x^2}} \right)dx}  =  - \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( {1 - {x^2}} \right)d\left( {1 - {x^2}} \right)}  = \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} \)

    \(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt}  + \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt}  =  - \frac{{15}}{8}\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt}  =  - \frac{3}{4}\end{array}\)

    Thay \(\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt}  =  - \frac{3}{4}\) vào (2) ta được:

    \(\begin{array}{l}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( t \right)dt}  - \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt}  =  - \frac{{17}}{8}\\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( t \right)dt}  =  - \frac{{17}}{8} + \frac{3}{2}.\left( { - \frac{3}{4}} \right)\\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( t \right)dt}  =  - \frac{{13}}{4}.\end{array}\)

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com