Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(xf\left( {{x^3}} \right) +

Câu hỏi số 401664:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(xf\left( {{x^3}} \right) + f\left( {1 - {x^2}} \right) = - {x^{10}} + {x^6} - 2x,\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \( - \dfrac{{17}}{{20}}\)

B. \( - \dfrac{{13}}{4}\)

C. \(\dfrac{{17}}{4}\)

D. \( - 1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:401664

Giải chi tiết

\(xf\left( {{x^3}} \right) + f\left( {1 - {x^2}} \right) = - {x^{10}} + {x^6} - 2x\)

Nhân hai vế với \(3x\) ta có:

\(3{x^2}f\left( {{x^3}} \right) + 3xf\left( {1 - {x^2}} \right) = - 3{x^{11}} + 3{x^7} - 6{x^2}\left( 1 \right)\)

Lấp tích phân hai vế từ \( - 1\) đến \(0\) ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_{ - 1}^0 {3{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^0 {3xf\left( {1 - {x^2}} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - 3{x^{11}} + 3{x^7} - 2x} \right)dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {3{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^0 {3xf\left( {1 - {x^2}} \right)dx} = - \frac{{17}}{8}\end{array}\)

Ta có: \(\int\limits_{ - 1}^0 {3{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( {{x^3}} \right)d\left( {{x^3}} \right)} = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( t \right)dt} \)

\(\int\limits_{ - 1}^0 {3xf\left( {1 - {x^2}} \right)dx} = - \frac{3}{2}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( {1 - {x^2}} \right)d\left( {1 - {x^2}} \right)} \)\( = - \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} \)

Do đó \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( t \right)dt} - \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = - \frac{{17}}{8}\) (2)

Lấp tích phân hai vế của (1) từ 0 đến 1 ta có:

\(\int\limits_0^1 {3{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( {{x^3}} \right)d\left( {{x^3}} \right)} = \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} \)

\(\int\limits_0^1 {3xf\left( {1 - {x^2}} \right)dx} = - \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( {1 - {x^2}} \right)d\left( {1 - {x^2}} \right)} = \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} + \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = - \frac{{15}}{8}\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = - \frac{3}{4}\end{array}\)

Thay \(\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = - \frac{3}{4}\) vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( t \right)dt} - \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = - \frac{{17}}{8}\\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( t \right)dt} = - \frac{{17}}{8} + \frac{3}{2}.\left( { - \frac{3}{4}} \right)\\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( t \right)dt} = - \frac{{13}}{4}.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.