Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(xf\left( {{x^3}} \right) + f\left( {1 - {x^2}} \right) = - {x^{10}} + {x^6} - 2x,\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
Câu 401664: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(xf\left( {{x^3}} \right) + f\left( {1 - {x^2}} \right) = - {x^{10}} + {x^6} - 2x,\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
A. \( - \dfrac{{17}}{{20}}\)
B. \( - \dfrac{{13}}{4}\)
C. \(\dfrac{{17}}{4}\)
D. \( - 1\)
-
Đáp án : B(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(xf\left( {{x^3}} \right) + f\left( {1 - {x^2}} \right) = - {x^{10}} + {x^6} - 2x\)
Nhân hai vế với \(3x\) ta có:
\(3{x^2}f\left( {{x^3}} \right) + 3xf\left( {1 - {x^2}} \right) = - 3{x^{11}} + 3{x^7} - 6{x^2}\left( 1 \right)\)
Lấp tích phân hai vế từ \( - 1\) đến \(0\) ta có:
\(\begin{array}{l}\int\limits_{ - 1}^0 {3{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^0 {3xf\left( {1 - {x^2}} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - 3{x^{11}} + 3{x^7} - 2x} \right)dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {3{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^0 {3xf\left( {1 - {x^2}} \right)dx} = - \frac{{17}}{8}\end{array}\)
Ta có: \(\int\limits_{ - 1}^0 {3{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( {{x^3}} \right)d\left( {{x^3}} \right)} = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( t \right)dt} \)
\(\int\limits_{ - 1}^0 {3xf\left( {1 - {x^2}} \right)dx} = - \frac{3}{2}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( {1 - {x^2}} \right)d\left( {1 - {x^2}} \right)} \)\( = - \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} \)
Do đó \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( t \right)dt} - \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = - \frac{{17}}{8}\) (2)
Lấp tích phân hai vế của (1) từ 0 đến 1 ta có:
\(\int\limits_0^1 {3{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( {{x^3}} \right)d\left( {{x^3}} \right)} = \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} \)
\(\int\limits_0^1 {3xf\left( {1 - {x^2}} \right)dx} = - \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( {1 - {x^2}} \right)d\left( {1 - {x^2}} \right)} = \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} + \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = - \frac{{15}}{8}\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = - \frac{3}{4}\end{array}\)
Thay \(\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = - \frac{3}{4}\) vào (2) ta được:
\(\begin{array}{l}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( t \right)dt} - \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = - \frac{{17}}{8}\\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( t \right)dt} = - \frac{{17}}{8} + \frac{3}{2}.\left( { - \frac{3}{4}} \right)\\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( t \right)dt} = - \frac{{13}}{4}.\end{array}\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com