Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(0 \le x \le 2020\) và \({\log _3}\left( {3x +

Câu hỏi số 401663:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(0 \le x \le 2020\) và \({\log _3}\left( {3x + 3} \right) +x= 2y + {9^{y}}\)?

A. \(2019\)

B. \(6\)

C. \(2020\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:401663

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(3x + 3 > 0 \Leftrightarrow x > - 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {3x + 3} \right) + x = 2y + {9^y}\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {3\left( {x + 1} \right)} \right] + x = 2y + {3^{2y}}\\ \Leftrightarrow {\log _3}3 + {\log _3}\left( {x + 1} \right) + x = 2y + {3^y}\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 1} \right) + x + 1 = 2y + {3^{2y}}\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 1} \right) + {3^{{{\log }_3}\left( {x + 1} \right)}} = 2y + {3^{2y}}\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = t + {3^t}\) ta có \(f'\left( t \right) = 1 + {3^t}\ln 3 > 0\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), do đó ta có \({\log _3}\left( {x + 1} \right) = 2y\)\( \Leftrightarrow x + 1 = {3^{2y}}\).

Theo bài ra ta có: \(0 \le x \le 2020\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0 \le {3^{2y}} - 1 \le 2020 \Leftrightarrow 1 \le {3^{2y}} \le 2020\\ \Leftrightarrow 0 \le 2y \le {\log _3}2020 \approx 6,9\end{array}\)

Mà \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\).

Ứng với mỗi giá trị của \(y\) cho 1 giá \(x\) tương ứng.

Vậy có 4 cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.