Cho \(\left| {iz - 2i + 1} \right| = 1\). Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

Câu hỏi số 402013:

Vận dụng cao

Cho \(\left| {iz - 2i + 1} \right| = 1\). Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(\left| {\overline z + 1 + i} \right|\). Tính \(M + m\)

A. \(2\sqrt 5 \)

B. \(2\)

C. \(6\)

\(1 + \sqrt 5 \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402013

Phương pháp giải

- Xác định quỹ tích các điểm biểu diễn số phức \(\overline z \), sử dụng các công thức \(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|,\,\,\overline {z + w} = \overline z + \overline w \).

- Biểu diễn hình học và tìm GTLN, GTNN của \(\left| {\overline z + 1 + i} \right|\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {iz - 2i + 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {iz - 2i - {i^2}} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left| {i\left( {z - 2 - i} \right)} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| i \right|\left| {z - 2 - i} \right| = 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {z - 2 - i} \right| = 1 \Rightarrow \left| {\overline {z - 2 - i} } \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left| {\overline z + \overline { - 2 - i} } \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\overline z - 2 + i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\overline z - \left( {2 - i} \right)} \right| = 1\end{array}\).

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(\overline z \) là tâm đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\), bán kính \(R = 1\).

Gọi \(M\) là điểm biểu diễn số phức \(\overline z \), \(N\left( { - 1; - 1} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z = - 1 - i\).

Khi đó ta có: \(\left| {\overline z + 1 + i} \right| = \left| {\overline z - \left( { - 1 - i} \right)} \right| = MN\) với \(M \in \left( C \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M{N_{\min }} = IN - R = 3 - 1 = 2\\M{N_{\max }} = IN + R = 3 + 1 = 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow m = 2,\,\,M = 4\).

Vậy \(M + m = 4 + 2 = 6\).

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.