Trong không gian $Oxyz$, cho hình thang cân $ABCD$ có hai đáy $AB,\,\,CD$

Câu hỏi số 402019:

Vận dụng cao

Trong không gian $Oxyz$, cho hình thang cân $ABCD$ có hai đáy $AB,\,\,CD$ thỏa mãn $CD = 2AB$ và diện tích bằng $27$, đỉnh $A\left( { - 1; - 1;0} \right)$, phương trình đường thẳng chứa cạnh $CD$ là $\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 3}}{1}$. Tìm tọa độ điểm $D$ biết hoành độ điểm $B$ lớn hơn hoành độ điểm $A$.

A. $\left( { - 2; - 5;1} \right)$

B. $\left( { - 3; - 5;1} \right)$

C. $\left( {2; - 5;1} \right)$

D. $\left( {3;3;2} \right)$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402019

Giải chi tiết

Gọi $\overrightarrow u \left( {2;2;1} \right)$ là 1 VTCP của đường thẳng $CD$.

Vì $AB\parallel CD$ nên $\overrightarrow u \left( {2;2;1} \right)$ cũng là 1 VTCP của đường thẳng $AB$.

Suy ra phương trình đường thẳng chứa cạnh $AB$ là: $\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{z}{1}$.

Vì $B \in AB \Rightarrow B\left( { - 1 + 2t; - 1 + 2t;t} \right)$ $\left( { - 1 + 2t > - 1 \Leftrightarrow t > 0} \right)$.

Lấy $M\left( {2; - 1;3} \right) \in CD$, ta có: $\overrightarrow {AM} = \left( {3;0;3} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow u } \right] = \left( {6; - 3; - 6} \right)$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {A;CD} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{6^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 3\\{S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).d\left( {A;CD} \right)}}{2} \Rightarrow 27 = \dfrac{{\left( {AB + 2AB} \right).3}}{2}\\ \Leftrightarrow 3AB = 18 \Leftrightarrow AB = 6 \Leftrightarrow A{B^2} = 36\\ \Leftrightarrow {\left( { - 1 + 2t + 1} \right)^2} + {\left( { - 1 + 2t + 1} \right)^2} + {\left( {t - 0} \right)^2} = 36\\ \Leftrightarrow 4{t^2} + 4{t^2} + {t^2} = 36 \Leftrightarrow {t^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 2\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Suy ra $B\left( {3;3;2} \right)$.

Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng CD

$H \in CD \Rightarrow H(2+2s; -1+2s; 3+s)$.

$\vec{AH} = (2s+3; 2s; s+3)$.

Vì $AH \perp CD$ nên $\vec{AH} \cdot \vec{u} = 0$:

$2(2s+3) + 2(2s) + 1(s+3) = 0 \Leftrightarrow s = -1$

$\Rightarrow H(0; -3; 2)$.

Trong hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$) có $CD = 2AB$, gọi $K$ là hình chiếu của $B$ lên $CD$. Ta có:

$HK = AB$.

$DH = KC = \dfrac{CD - AB}{2} = \dfrac{2AB - AB}{2} = \dfrac{1}{2}AB$.

Ta có $\vec{HD} = -\frac{1}{2}\vec{AB}$ (do $\vec{HD}$ ngược hướng với $\vec{HK}$ và $\vec{HK} = \vec{AB}$).

$\Rightarrow \vec{HD} = -\dfrac{1}{2}(4; 4; 2) = (-2; -2; -1)$

$\Rightarrow \begin{cases} x_D - 0 = -2 \\ y_D - (-3) = -2 \\ z_D - 2 = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_D = -2 \\ y_D = -5 \\ z_D = 1 \end{cases}$

Vậy $D(-2; -5; 1)$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.