Có bao nhiêu điểm trên elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\) thỏa mãn điều

Câu hỏi số 402374:

Vận dụng

Có bao nhiêu điểm trên elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\) thỏa mãn điều kiện nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông?

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402374

Phương pháp giải

+) Xác định tiêu điểm của elip \({F_1}\left( {c;\,\,0} \right),\,\,{F_2}\left( { - c;\,\,0} \right)\).

+) Điểm \(N\)thuộc elip và nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông nghĩa là: \(\overrightarrow {{F_1}N} \,.\,\,\overrightarrow {{F_2}N} = 0\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 9 - 1 = 8\)\( \Rightarrow c = 2\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \) Hai tiêu điểm của elip \(\left( E \right)\) là \({F_1}\left( {2\sqrt 2 ;\,\,0} \right)\) và \({F_2}\left( { - 2\sqrt 2 ;\,\,0} \right)\).

Gọi \(N\left( {x;\,\,y} \right) \in \left( E \right)\) là điểm cần tìm.

\( \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}N} = \left( {x - 2\sqrt 2 ;\,\,y} \right),\,\,\overrightarrow {{F_2}N} = \left( {x + 2\sqrt 2 ;\,\,y} \right)\)

Theo đề bài, từ \(N\) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông nên ta có: \(\overrightarrow {{F_1}N} \,.\,\,\overrightarrow {{F_2}N} = 0\)

\( \Rightarrow \left( {x - 2\sqrt 2 } \right)\left( {x + 2\sqrt 2 } \right) + {y^2} = 0\)

\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} - 8 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác \(N\left( {x;\,\,y} \right) \in \left( E \right)\) nên \(\,\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1 \Rightarrow \,\frac{{{x^2}}}{9} + {y^2} = 1\)\( \Rightarrow {y^2} = 1 - \frac{{{x^2}}}{9}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} + 1 - \frac{{{x^2}}}{9} - 8 = 0 \Leftrightarrow \frac{{8{x^2}}}{9} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow 8{x^2} = 63 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{63}}{8} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}\\x = - \frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(x = \frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}\) thay vào \({y^2} = 1 - \frac{{{x^2}}}{9}\) ta được: \({y^2} = 1 - \frac{{63}}{{72}} = \frac{1}{8} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\\y = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {N_1}\left( {\frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }};\,\,\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right),\,{N_2}\left( {\frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }};\,\, - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)\)

+) Với \(x = - \frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}\) thay vào \({y^2} = 1 - \frac{{{x^2}}}{9}\) ta được: \({y^2} = 1 - \frac{{63}}{{72}} = \frac{1}{8} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\\y = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {N_3}\left( { - \frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }};\,\,\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right),\,{N_4}\left( { - \frac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }};\,\, - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)\)

Vậy có \(4\) điểm thỏa mãn điều kiện đề bài.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.