Cho elip \(\left( E \right):\,\,4{x^2} + 9{y^2} = 36\) và \(M\left( {1;\,\,1} \right)\). Phương trình đường

Câu hỏi số 402375:

Vận dụng

Cho elip \(\left( E \right):\,\,4{x^2} + 9{y^2} = 36\) và \(M\left( {1;\,\,1} \right)\). Phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) qua \(M\) và cắt \(\left( E \right)\) tại hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho \(M\) là trung điểm của \(AB\) là:

A. \( - 4x + 9y - 13 = 0\)

B. \(4x + 9y + 13 = 0\)

C. \(4x + 9y - 13 = 0\)

D. \(4x - 9y - 13 = 0\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402375

Phương pháp giải

+) Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\left( d \right)\) qua \(M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)\) có dạng: \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

+) Tìm điều kiện để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( E \right)\) tại hai điểm phân biệt để từ đó xác định \(k\).

Giải chi tiết

Giả sử phương trình tổng quát của đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;\,\,1} \right)\) với hệ số góc \(k\) có dạng:\(y = k\left( {x - 1} \right) + 1\)

Giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( E \right)\)là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}y = k\left( {x - 1} \right) + 1\\4{x^2} + 9{y^2} = 36\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 4{x^2} + 9{\left[ {k\left( {x - 1} \right) + 1} \right]^2} = 36\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} + 9{\left( {kx - k + 1} \right)^2} = 36\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} + 9\left[ {{{\left( {kx - k} \right)}^2} + 2\left( {kx - k} \right) + 1} \right] = 36\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} + 9\left( {{k^2}{x^2} - 2{k^2}x + {k^2}} \right) + 18\left( {kx - k} \right) + 9 = 36\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} + 9{k^2}{x^2} - 18{k^2}x + 9{k^2} + 18kx - 18k - 25 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {9{k^2} + 4} \right){x^2} + 18k\left( {1 - k} \right)x + 9{k^2} - 25 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( E \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) thỏa mãn \(MA = MB\) khi và chỉ khi phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_A},\,\,{x_B}\) sao cho :

\(\begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} \Leftrightarrow \frac{{ - 18k\left( {1 - k} \right)}}{{2\left( {9{k^2} + 4} \right)}} = 1\\ \Leftrightarrow - 18k\left( {1 - k} \right) = 2\left( {9{k^2} + 4} \right)\\ \Leftrightarrow - 18k + 18{k^2} = 18{k^2} + 8\\ \Leftrightarrow - 18k = 8 \Leftrightarrow k = - \frac{4}{9}\end{array}\)

Phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) là:

\(y = - \frac{4}{9}\left( {x - 1} \right) + 1\)\( \Leftrightarrow y = - \frac{4}{9}x + \frac{4}{9} + 1\)\( \Leftrightarrow y = - \frac{4}{9}x + \frac{{13}}{9}\)\( \Leftrightarrow 4x + 9y - 13 = 0\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) là: \(4x + 9y - 13 = 0.\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.