Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(BC = a\sqrt 2 \), các cạnh còn lại đều bằng \(a\). Góc giữa hai vecto

Câu hỏi số 402489:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(BC = a\sqrt 2 \), các cạnh còn lại đều bằng \(a\). Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {SB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) bằng:

A. \(60^\circ .\)

B. \(30^\circ .\)

C. \(90^\circ .\)

D. \(120^\circ .\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402489

Phương pháp giải

- Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} \).

- Sử dụng định nghĩa tích vô hướng \(\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = SB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {AC} } \right)\).

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {AC} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AC} \end{array}\)

+) \(\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AC} = SC.AC.cos\angle \left( {\overrightarrow {SC} ;\overrightarrow {AC} } \right)\).

Xét \(\Delta SAC\) ta có \(SA = AC = SC = a \Rightarrow \Delta SAC\) đều \( \Rightarrow \angle \left( {\overrightarrow {SC} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {60^0}\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AC} = a.a.\cos {60^0} = \frac{1}{2}{a^2}\).

+) \(\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AC} = CB.AC.\cos \angle \left( {\overrightarrow {CB} ;\overrightarrow {AC} } \right)\).

Xét tam giác \(ABC\) có \(AB = AC = a,\,\,BC = a\sqrt 2 \) \( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông cân tại \(A\).

\( \Rightarrow \angle \left( {\overrightarrow {CB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {180^0} - {45^0} = {135^0}\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AC} = a\sqrt 2 .a.\cos {135^0} = - {a^2}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}{a^2} - {a^2} = - \frac{1}{2}{a^2}\\ \Rightarrow SB.AC.\cos \angle \left( {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = - \frac{1}{2}{a^2}\\ \Leftrightarrow a.a.\cos \angle \left( {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = - \frac{1}{2}{a^2}\\ \Leftrightarrow \cos \angle \left( {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \angle \left( {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {120^0}\end{array}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.