Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 3}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Đường thẳng có phương

Câu hỏi số 402488:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 3}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Đường thẳng có phương trình \(y = ax + b\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại \(A\), cắt trục tung tại \(B\) sao cho tam giác \(OAB\) là tam giác vuông cân tại \(O\) với \(O\) là gốc tọa độ. Khi đó tổng \(S = a + b\) bằng bao nhiêu?

A. \( - 2.\)

B. \( - 3.\)

C. \( 0.\)

D. \( - 1.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402488

Phương pháp giải

- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

- Tìm giao điểm của tiếp tuyến của đồ thị hàm số với các trục tọa độ.

- Tính độ dài \(OA,\,\,OB\).

- Tam giác \(OAB\) cân tại \(O \Leftrightarrow OA = OB\).

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{3}{2}} \right\}\).

Ta có \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 3}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\,\,\left( {{x_0} \ne - \frac{3}{2}} \right)\) là:

\(y = - \frac{1}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} + 2}}{{2{x_0} + 3}}\,\,\left( d \right)\).

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = \frac{{{x_0}}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}} + \frac{{{x_0} + 2}}{{2{x_0} + 3}} = \frac{{2x_0^2 + 8{x_0} + 6}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}\).

\( \Rightarrow d \cap Oy = B\left( {0;\frac{{2x_0^2 + 8{x_0} + 6}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}} \right)\) \( \Rightarrow OB = \frac{{\left| {2x_0^2 + 8{x_0} + 6} \right|}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}\).

Cho \(y = 0 \Rightarrow 0 = - \frac{1}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} + 2}}{{2{x_0} + 3}}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - \frac{1}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} + 2}}{{2{x_0} + 3}} = 0\\ \Leftrightarrow x - {x_0} = \left( {{x_0} + 2} \right)\left( {2{x_0} + 3} \right)\\ \Leftrightarrow x = 2x_0^2 + 8{x_0} + 6\end{array}\)

\( \Rightarrow d \cap Ox = A\left( {2x_0^2 + 8{x_0} + 6;0} \right)\) \( \Rightarrow OA = \left| {2x_0^2 + 8{x_0} + 6} \right|\).

Vì tam giác \(OAB\) vuông cân tại \(O\) nên \(OA = OB \Leftrightarrow \left| {2x_0^2 + 8{x_0} + 6} \right| = \frac{{\left| {2x_0^2 + 8{x_0} + 6} \right|}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {2x_0^2 + 8{x_0} + 6} \right|\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {2x_0^2 + 8{x_0} + 6} \right| = 0\\1 - \frac{1}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}} = 0\end{array} \right.\end{array}\)

(Trường hợp \(\left| {2x_0^2 + 8{x_0} + 6} \right| = 0\) loại do khi đó \(OA = OB = 0\)).

\( \Leftrightarrow {\left( {2{x_0} + 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x_0} + 3 = 1\\2{x_0} + 3 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = - 1\\{x_0} = - 2\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\).

Với \({x_0} = - 1\) thì phương trình tiếp tuyến là: \(y = - \left( {x + 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = - x\) (loại do đường thẳng này đi qua gốc tọa độ).

Với \({x_0} = - 2\) thì phương trình tiếp tuyến là: \(y = - \left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow y = - x - 2\).

\( \Rightarrow a = - 1,\,\,b = - 2\).

Vậy \(S = a + b = - 1 + \left( { - 2} \right) = - 3.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.