Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \({f^2}\left( {1 + 3x}

Câu hỏi số 402490:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \({f^2}\left( {1 + 3x} \right) = 9x - {f^2}\left( {1 - x} \right)\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ bằng \(x = 1\)?

A. \(y = x - 2.\)

B. \(y = - x.\)

C. \(y = - x - 2.\)

D. \(y = x.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402490

Phương pháp giải

- Tìm \(f\left( 1 \right)\) bằng cách thay \(x = 0\) vào 2 vế đẳng thức đề bài cho.

- Đạo hàm hai vế. Tính \(f'\left( 1 \right)\) bằng cách thay \(x = 0\).

- Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1\) là: \(y = y'\left( 1 \right).\left( {x - 1} \right) + y\left( 1 \right)\).

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có: \({f^2}\left( {1 + 3x} \right) = 9x - {f^3}\left( {1 - x} \right)\).

Thay \(x = 0\) ta được: \({f^2}\left( 1 \right) = - {f^3}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\f\left( 1 \right) = - 1\end{array} \right.\)

Đạo hàm 2 vế đẳng thức \({f^2}\left( {1 + 3x} \right) = 9x - {f^3}\left( {1 - x} \right)\) ta có:

\(2.3f'\left( {1 + 3x} \right)f\left( {1 + 3x} \right) = 9 + 3.{f^2}\left( {1 - x} \right)f'\left( {1 - x} \right)\)

Thay \(x = 0\) ta có: \(6.f'\left( 1 \right).f\left( 1 \right) = 9 + 3.{f^2}\left( 1 \right).f'\left( 1 \right)\).

TH1: \(f\left( 1 \right) = 0\) ta có: \(0 = 9 + 0\) (Vô lí).

TH2: \(f\left( 1 \right) = - 1\) ta có: \( - 6f'\left( 1 \right) = 9 + 3f'\left( 1 \right) \Leftrightarrow f'\left( 1 \right) = - 1\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = 1\) là:

\(y = y'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) + y\left( 1 \right)\) \( \Leftrightarrow y = - 1.\left( {x - 1} \right) - 1\) \( \Leftrightarrow y = - x\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.