Cho \(x,y\) là các số dương thỏa mãn \({\log _2}\dfrac{{{x^2} + 5{y^2}}}{{{x^2} + 10xy + {y^2}}} + 1 + {x^2} -

Câu hỏi số 402869:

Vận dụng cao

Cho \(x,y\) là các số dương thỏa mãn \({\log _2}\dfrac{{{x^2} + 5{y^2}}}{{{x^2} + 10xy + {y^2}}} + 1 + {x^2} - 10xy + 9{y^2} \le 0\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(P = \dfrac{{{x^2} + xy + 9{y^2}}}{{xy + {y^2}}}\). Tính \(T = 10M - m\).

A. \(T = 60.\)

B. \(T = 94.\)

C. \(T = 104.\)

D. \(T = 50.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402869

Phương pháp giải

- Xét hàm đặc trưng, tìm mối liên hệ giữa \(x,\,\,y\).

- Chia cả tử và mẫu của biểu thức \(P\) cho \({y^2} \ne 0\), đặt ẩn phụ \(t = \dfrac{x}{y}\), tìm khoảng giá trị của \(t\).

- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN, GTNN của biểu thức \(P\).

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _2}\dfrac{{{x^2} + 5{y^2}}}{{{x^2} + 10xy + {y^2}}} + 1 + {x^2} - 10xy + 9{y^2} \le 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + 5{y^2}} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} + 10xy + {y^2}} \right) + {\log _2}2 + 2\left( {{x^2} + 5{y^2}} \right) - \left( {{x^2} + 10xy + {y^2}} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2{x^2} + 10{y^2}} \right) + 2\left( {{x^2} + 5{y^2}} \right) \le {\log _2}\left( {{x^2} + 10xy + {y^2}} \right) + \left( {{x^2} + 10xy + {y^2}} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), mà ta lại có \(f\left( {2{x^2} + 10{y^2}} \right) = f\left( {{x^2} + 10xy + {y^2}} \right)\).

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 10{y^2} \le {x^2} + 10xy + {y^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 10xy + 9{y^2} \le 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^2} - 10\left( {\dfrac{x}{y}} \right) + 9 \le 0\)\( \Leftrightarrow 1 \le \dfrac{x}{y} \le 9\).

Ta có: \(P = \dfrac{{{x^2} + xy + 9{y^2}}}{{xy + {y^2}}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)}^2} + \dfrac{x}{y} + 9}}{{\dfrac{x}{y} + 1}}\).

Đặt \(t = \dfrac{x}{y}\) , điều kiện : \(1 \le t \le 9\) ta có: \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + t + 9}}{{t + 1}}\).

Có \(f'\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 2t - 8}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}\); \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 4\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 2\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

\(f\left( 1 \right) = \dfrac{{11}}{2},\,\,f\left( 2 \right) = 5,\,\,f\left( 9 \right) = \dfrac{{99}}{{10}}.\)

Nên \(M = \dfrac{{99}}{{10}}\) , \(m = 5\). Vậy \(T = 10M - m = 94\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.