Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}}

Câu hỏi số 402870:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x} = 4\) và \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x = 2} \). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

A. \(6\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402870

Phương pháp giải

- Xét tính phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x} = 4\), sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \(t = \tan x\).

- Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \).

Giải chi tiết

Xét \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x} = 4\).

Đặt \(t = \tan x\)\( \Rightarrow {\rm{d}}t = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx = \left( {1 + {t^2}} \right)dx\) \( \Rightarrow \dfrac{{{\rm{d}}t}}{{1 + {t^2}}} = {\rm{d}}x\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\), khi đó ta có: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( {\mathop{\rm t}\nolimits} \right)}}{{1 + {t^2}}}{\rm{d}}t} = 4\)\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{1 + {x^2}}}{\rm{d}}x} = 4\).

Ta có: \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{1 + {x^2}}}{\rm{d}}x} + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x = } \int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{1 + {x^2}}}\left( {1 + {x^2}} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4 + 2 = 6\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.