Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2\cos x -
Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2\cos x - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\). Biết rằng giá trị lớn nhất của \(F\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) là \(\sqrt 3 \). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Tìm \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \) bằng nguyên hàm cơ bản \(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \cot x + C\) và phương pháp đổi biến số.
- Khảo sát, lập BBT và tìm GTLN của hàm số \(F\left( x \right)\).
- Giải phương trình \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;3} \right)} F\left( x \right) = \sqrt 3 \) tìm \(C\), suy ra hàm số \(F\left( x \right)\) hoàn chỉnh.
- Tính các đáp án và chọn đáp án đúng.
Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\dfrac{{2\cos x - 1}}{{{{\sin }^2}x}}dx} \) \( = 2\int {\dfrac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} - \int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \)\( = 2{I_1} + \cot x + C\).
Đặt \(t = \sin x \Leftrightarrow dt = \cos dx\).
Khi đó ta có: \({I_1} = \int {\dfrac{{dt}}{{{t^2}}}} = - \dfrac{1}{t} + C = \dfrac{{ - 1}}{{\sin x}} + C\).
Do đó \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = - \dfrac{2}{{\sin x}} + \cot x + C\).
Ta có: \(F'\left( x \right) = \dfrac{{2\cos x}}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = \dfrac{{2\cos x - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\).
Cho \(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Mà \(\) nên \(x = \dfrac{\pi }{3}\). Ta có BBT như sau:
Dựa vào BBT ta thấy hàm số \(F\left( x \right)\) đạt GTLN tại \(x = \dfrac{\pi }{3}\).
\( \Rightarrow F\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{\sin \dfrac{\pi }{3}}} + \cot \dfrac{\pi }{3} + C = \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow - \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} + C = \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow C = 2\sqrt 3 \).
\( \Rightarrow F\left( x \right) = - \dfrac{2}{{\sin x}} + \cot x + 2\sqrt 3 \).
Vậy \(F\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = - \dfrac{2}{{\sin \dfrac{\pi }{6}}} + \cot \dfrac{\pi }{6} + 2\sqrt 3 \) \( = - 4 + \sqrt 3 + 2\sqrt 3 = 3\sqrt 3 - 4\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
