Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 1\),

Câu hỏi số 403595:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 1\), \(F\left( x \right) = f\left( x \right) - {e^x} - x\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\). Họ các nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) là:

A. \(\left( {x + 1} \right){e^x} + C\)

B. \(\left( {x + 1} \right){e^x} - x + C\)

C. \(\left( {x + 2} \right){e^x} - x + C\)

D. \(\left( {x + 1} \right){e^x} + x + C\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403595

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế và phương pháp nguyên hàm từng phần.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}F'\left( x \right) = f\left( x \right)\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) - {e^x} - 1 = f\left( x \right)\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) - f\left( x \right) = {e^x} + 1\\ \Leftrightarrow {e^{ - x}}.f'\left( x \right) - {e^{ - x}}.f\left( x \right) = 1 + {e^{ - x}}\\ \Leftrightarrow \left[ {{e^{ - x}}.f\left( x \right)} \right]' = 1 + {e^{ - x}}\\ \Leftrightarrow \int {\left[ {{e^{ - x}}.f\left( x \right)} \right]'dx} = \int {\left( {1 + {e^{ - x}}} \right)dx} \\ \Leftrightarrow {e^{ - x}}.f\left( x \right) = x - {e^{ - x}} + C\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = x.{e^x} - 1 + C.{e^x}\end{array}\)

Thay \(x = 0\) ta có: \(f\left( 0 \right) = - 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 2\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = x.{e^x} - 1 + 2{e^x} = \left( {x + 2} \right){e^x} - 1\\ \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left[ {\left( {x + 2} \right){e^x} - 1} \right]dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int {\left( {x + 2} \right){e^x}dx} - \int {dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {x + 2} \right){e^x} - \int {{e^x}dx} - x + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {x + 2} \right){e^x} - {e^x} - x + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {x + 1} \right){e^x} - x + C\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.