Cho phương trình \(\sqrt {\log _2^2x + {{\log }_{\frac{1}{2}}}{x^2} - 3} = m\left( {{{\log }_4}{x^2} - 3} \right)\) (\(m\) là tham số thực). Tập tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm thuộc \(\left[ {8\sqrt 2 ; + \infty } \right)\) là \(\left( {a;b} \right]\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 403594: Cho phương trình \(\sqrt {\log _2^2x + {{\log }_{\frac{1}{2}}}{x^2} - 3} = m\left( {{{\log }_4}{x^2} - 3} \right)\) (\(m\) là tham số thực). Tập tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm thuộc \(\left[ {8\sqrt 2 ; + \infty } \right)\) là \(\left( {a;b} \right]\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(2a + b = 3\)

B. \(2a + b = 4\)

C. \(2a + b = 0\)

D. \(2a + b = 5\)

Câu hỏi : 403594

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = {\log _2}x\), xác định khoảng giá trị của \(t\).

- Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\).

- Khảo sát và lập BBT của hàm số \(y = f\left( t \right)\) và kết luận.

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(x > 0\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\sqrt {\log _2^2x + {{\log }_{\frac{1}{2}}}{x^2} - 3} = m\left( {{{\log }_4}{x^2} - 3} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {\log _2^2x - {{\log }_2}x - 3} = m\left( {{{\log }_2}x - 3} \right)\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _2}x\), với \(x \in \left[ {8\sqrt 2 ; + \infty } \right)\) thì \(t \ge \dfrac{7}{2} \Rightarrow t \in \left[ {\dfrac{7}{2}; + \infty } \right)\).

Khi đó phương trình (*) trở thành: \(\sqrt {{t^2} - 2t - 3} = m\left( {t - 3} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 0\\{t^2} - 2t - 3 = {m^2}{\left( {t - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 0\\{m^2} = \dfrac{{t + 1}}{{t - 3}}\end{array} \right.\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{t + 1}}{{t - 3}}\) với \(t \in \left[ {\dfrac{7}{2}; + \infty } \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall t \ge \dfrac{7}{2}\). Ta có BBT:

Từ BBT ta có \(\left\{ \begin{array}{l}m \ge 0\\1 < {m^2} \le 9\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m \le 3\) \( \Rightarrow m \in \left( {1;3} \right]\).

Vậy \(a = 1,\,\,b = 3 \Rightarrow 2a + b = 5\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.