Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 2 + 3i} \right| = \left| {z + 1 - i} \right|\) và \({\left| z

Câu hỏi số 403853:

Vận dụng

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 2 + 3i} \right| = \left| {z + 1 - i} \right|\) và \({\left| z \right|^2} + 2\left( {z + \overline z } \right) = 5\)?

A. \(1.\)

B. \(0.\)

C. \(2.\)

D. \(4.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403853

Phương pháp giải

- Đặt \(z = a + bi\) rồi thay vào biểu thức \(\left| {z - 2 + 3i} \right| = \left| {z + 1 - i} \right|\), từ đó rút \(b\) theo \(b\).

- Thay vào biểu thức \({\left| z \right|^2} + 2\left( {z + \overline z } \right) = 5\) tìm \(a,\,\,b\).

Giải chi tiết

Đặt \(z = a + bi.\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {z - 2 + 3i} \right| = \left| {z + 1 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {a + bi - 2 + 3i} \right| = \left| {a + bi + 1 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b + 3} \right)i} \right| = \left| {\left( {a + 1} \right) + \left( {b - 1} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - 4a + 4 + 6b + 9 = 2a + 1 - 2b + 1\\ \Leftrightarrow 6a - 8b = 11 \Rightarrow b = \dfrac{{6a - 11}}{8}\end{array}\)

Mặt khác ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\left| z \right|^2} + 2\left( {z + \overline z } \right) = 5\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + 4a = 5\\ \Rightarrow {a^2} + {\left( {\dfrac{{6a - 11}}{8}} \right)^2} + 4a - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{25}}{{16}}{a^2} + \dfrac{{31}}{{16}}a - \dfrac{{199}}{{64}} = 0\end{array}\)

Phương trình trên có 2 nghiệm \(a\) phân biệt. Do đó có 2 số phức \(z\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.