Cho đường tròn (O) và đường thẳng (d) nằm ngoài đường tròn.I là điểm di động trên (d)
Cho đường tròn (O) và đường thẳng (d) nằm ngoài đường tròn.I là điểm di động trên (d) .Đường tròn đường kính OI cắt (O) tại 2 điểm M, N. Chứng minh đường tròn đường kính OI luôn đi qua 1 điểm cố định khác O và MN luôn đi qua 1 điểm cố định.
Quảng cáo
- Kẻ OH vuông góc với (d) cắt MN tại E. Chứng minh H thuộc đường tròn đường kính OI và chứng minh H cố định.
- Chứng minh tam giác OEF đồng dạng tam giác OIH, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông chứng minh OE không đổi, từ đó suy ra điểm cố định mà đường thẳng MN đi qua.
Kẻ OH vuông góc với (d) cắt MN tại E.
H cố định (vì O và MN cố định ) và H thuộc đường tròn đường kính OI (do \(\angle OHI = {90^0}\)).
Vậy đường tròn đường kính OI luôn đi qua điểm H cố định.
Gọi OI cắt MN tại F. Khi đó ta có OI là đường trung trực của MN.
Xét \(\Delta OEF\) và \(\Delta OIH\), có góc O chung, \(\angle OFE = \angle OHI = {90^0}\).
Nên \(\Delta OEF \sim \Delta OIH\,\,\left( {g.g} \right)\), do đó: \(\dfrac{{OF}}{{OE}} = \dfrac{{OH}}{{OI}} \Rightarrow OE.OH = OF.OI\).
Lại có \(\angle IMO = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính OI) \( \Rightarrow \Delta OMI\) vuông tại M.
Xét \(\Delta OMI\) vuông tại M có đường cao ứng với cạnh huyền MF nên ta có: \(OF.OI = O{M^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\( \Rightarrow OE.OH = O{M^2} \Rightarrow OE = \dfrac{{O{M^2}}}{{OH}} = \) hằng số.
Mà O cố định nên suy ra E cố định.
Vậy MN luôn đi qua điểm E cố định.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
