Cho đường tròn (O; R) và dây cung \(AB = R\sqrt 3 \). Điểm P thuộc AB (P khác A và B). Gọi \(\left(
Cho đường tròn (O; R) và dây cung \(AB = R\sqrt 3 \). Điểm P thuộc AB (P khác A và B). Gọi \(\left( {C;{R_1}} \right)\) là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại A. Gọi \(\left( {D;{R_2}} \right)\) là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại B. Các đường tròn \(\left( {C;{R_1}} \right)\) và \(\left( {D;{R_2}} \right)\) cắt nhau tại M khác P. Chứng minh rằng khi P di động trên AB thì PM luôn đi qua 1 điểm cố định.
Quảng cáo
- Chứng minh \(\angle BDP = \angle AOB\), sử dụng tính chất tam giác cân.
- Tính số đo góc AOB. Từ đó suy ra số đo các góc BMP và góc AMP.
- Chứng minh tứ giác BMOA là tứ giác nội tiếp.
- Chứng minh cung AI có số đo không đổi, từ đó suy ra I là điểm cố định.
Vẽ đường tròn ngoại tiếp OAB cắt tiếp tuyến của (O) tại A, B tại I.
Gọi \(H\) là trung điểm của AB \( \Rightarrow OH \bot AB\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
Vì \(AB = R\sqrt 3 \) \( \Rightarrow BH = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\).
Xét tam giác vuông OHB có: \(\cos \angle OBH = \frac{{BH}}{{OB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow \angle OBH = {30^0}\).
Vì tam giác OAB cân tại O nên \(\angle OAB = \angle OBA = {30^0}\) \( \Rightarrow \angle AOB = {120^0}\) \( \Rightarrow \) số đo cung AB bằng \({120^0}\).
Ta có: \(\Delta BDP\) cân tại D \( \Rightarrow \angle OBA = \angle DPB\).
\(\Delta OAB\) cân tại O \( \Rightarrow \angle OBA = \angle OAB\).
\( \Rightarrow \angle BDP = \angle AOB = {120^0}\) suy ra sđ cung BP của (D) = sđ cung AB của (O) \( = {120^0}\).
Tương tự số đo cung PA của (C) \( = {120^0}\).
Ta có \(\angle BMP = \frac{1}{2}sdcBP = {60^0}\).
\(\angle AMP = \frac{1}{2}sdcAP = {60^0}\).
\( \Rightarrow \angle BMA = \angle BMP + \angle AMP = {60^0} + {60^0} = {120^0} = \angle AOB\).
Xét tứ giác BMOA , có \(\angle BMA = \angle AOB = {120^0}\) (cmt), do đó tứ giác BMOA nội tiếp hay M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.
\( \Rightarrow \) sđ cung IA = \(2\angle IAM = 2\angle PAM = {120^0}\) \( \Rightarrow \) Số đo cung IA không đổi. Mà A cố định nên I cố định.
Vậy PM luôn đi qua điểm I cố định.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
