Cho tam giác ABC có điểm D di động trên BC (D khác B, C). Đường tròn \(\left( {{O_1}} \right)\) đi qua
Cho tam giác ABC có điểm D di động trên BC (D khác B, C). Đường tròn \(\left( {{O_1}} \right)\) đi qua D và tiếp xúc với AB tại B. Đường tròn \(\left( {{O_2}} \right)\) đi qua D tiếp xúc với AC tại C. Gọi E là điểm thứ 2 của \(\left( {{O_1}} \right)\) và \(\left( {{O_2}} \right)\). Chứng minh rằng khi D di chuyển trên BC thì đường thẳng ED luôn đi qua điểm cố định.
Quảng cáo
- Gọi S là giao điểm của DE với đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC.
- Chứng minh tứ giác ABEC nội tiếp, sử dụng định lí: Trong một đường tròn, góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì bằng nhau.
- Sử dụng định lí: Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau, chứng minh cung BS có số đo không đổi, từ đó chứng minh S là điểm cố định.
Gọi S là giao điểm của DE với đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có:
\(\angle ABC = \angle BED\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BD của đường tròn \(\left( {{O_1}} \right)\)).
\(\angle ACB = \angle CED\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CD của đường tròn \(\left( {{O_2}} \right)\)).
Suy ra: \(\angle BAC + \angle BEC + \angle CED = \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = {180^0}\) (tổng ba góc trong tam giác ABC).
\( \Rightarrow \angle BAC + \angle BEC = {180^0}\). Do tứ giác ABEC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
Xét đường tròn (O) có \(\angle ABC = \angle BED\,\,\,\left( {cmt} \right)\) nên hai cung AC và SB bằng nhau.
Mà cung AC có số đo không đổi nên số đo cung SB không đổi, lại có diểm B cố đỉnh. Do đó S là điểm cố định.
Vậy ED luôn đi qua điểm S cố định.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
