Cho đường thẳng xy , A và B không nằm trên xy và nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ xy. Tìm

Câu hỏi số 404705:

Vận dụng cao

Cho đường thẳng xy , A và B không nằm trên xy và nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ xy. Tìm trên xy một điểm M sao cho \(\angle AMB\) lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404705

Phương pháp giải

Xét các trường hợp có thể xảy ra.

Giải chi tiết

a) Trường hợp AB//xy

Dựng đường tròn (O) đi qua A và B và tiếp xúc với xy tại M. Nếu lấy 1 điểm M’ bất kì (M khác M’) trên xy. Nối M’ với A, B (N là giao điểm của (O) và AM’) ta luôn có \(\angle AM'B < \angle ANB\) mà \(\angle ANB = \angle AMB\) \( \Rightarrow \angle ANB = \angle AMB\).

Dấu “=” xảy ra khi M ≡ N. Khi đó M ≡ M’.

Vậy M nằm trên đường trung trực của AB giao với xy.

b) Trường hợp AB vuông góc với xy.

Khi đó ta dựng được hai đường tròn (O) và ( O’ ) đi qua A , B tiếp xúc với xy tại M và M’.

Do DAOO’ cân nên \(\angle AOO' = \angle AO'O\) \( \Rightarrow \angle AMB = \angle AM'B\).

Cả hai điểm M và M’ dều thoả mãn điều kiện bài toán.

Vậy bài toán có hai nghiệm hình.

c) Trường hợp bất kì

Trước hết ta hãy giải bài toán: Cho đường thẳng xy, hai điểm A và B không nằm trên xy và thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy ; AB không song song và cũng không vuông góc với xy .

Dựng đường tròn qua A, B và tiếp xúc với xy.

Giả sử ta đã dựng đựơc đường tròn (O) qua A, B và tiếp xúc với xy tại M, vì A, B không song song với xy nên AB cắt xy tại một điểm y.

Ta có : \(\Delta IMB \sim \Delta IAM\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow IM.IB = IA.IM\) \( \Rightarrow I{M^2} = IA.IB\,\,\,\left( 1 \right)\).

Vẽ đường tròn (O’) qua A và B (tâm O’ nằm trên trung trực của AB). Kẻ tiếp tuyến IT với (O’) theo chứng minh trên ta có: \(I{T^2} = IA.IB\,\,\,\,\left( 2 \right)\).

So sánh (1) và (2) ta được: \(I{M_1} = IT\).

Từ đó ta suy ra cách dựng sau : Vẽ một đưòng tròn phụ (O’) bất kì , từ I vẽ tiếp tuyến IT với (O’), trên xy đặt về hai phía của điểm I các đoạn \(I{M_1} = I{M_2} = IT\).

Đường vuông góc kẻ từ \({M_1}\) và \({M_2}\) cắt đường trung trực của AB tại \({O_1},\,\,{O_2}\); đó là tâm của hai đường tròn \(\left( {{O_1};\,\,{O_1}{M_1}} \right)\) và \(\left( {{O_2};\,\,{O_2}{M_2}} \right)\) đi qua A, B và tiếp xúc với xy tại \({M_1}\), \({M_2}\).

Trở lại bài toán đầu ,tương tự trường hợp a)

+ Nếu M’ nằm trên tia \(I{M_1}\) mà \(M' \ne {M_1}\) thì \(\angle AM'B < \angle A{M_1}B\).

+ Nếu M’ nằm trên tia \(I{M_2}\) mà \(M' \ne {M_2}\) thì \(\angle AMB' = \angle A{M_2}B\). Do đó ta cần so sánh \(\angle A{M_1}B\) và \(\angle A{M_2}B\).

Giả sử \(\left( {{O_1}} \right)\) có bán kính nhỏ hơn \(\left( {{O_2}} \right)\). Xét \(\Delta A{O_1}{O_2}\) ta có: \(A{O_1} < A{O_2}\) \( \Rightarrow \angle A{O_2}{O_1} < \angle A{O_1}{O_2}\) \( \Rightarrow \angle A{M_2}B < \angle A{M_1}B\).

Vậy điểm phải tìm tiếp điểm của đường thẳng xy với đường tròn có bán kính nhỏ hơn trong hai đường tròn qua A, B và tiếp xúc với xy.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link