Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_1^9 {\dfrac{{f\left(

Câu hỏi số 404538:

Thông hiểu

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_1^9 {\dfrac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} = 4\) và \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} = 2\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \).

A. \(I = 2\)

B. \(I = 6\)

C. \(I = 4\)

D. \(I = 10\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404538

Phương pháp giải

- Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \sqrt x \) đối với tích phân \(\int\limits_1^9 {\dfrac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} \) và đặt \(u = \sin x\) đối với tích phân \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} \).

- Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} \).

Giải chi tiết

Xét tích phân: \(\int\limits_1^9 {\dfrac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} \)

Đặt \(t = \sqrt x \Rightarrow dt = \dfrac{{dx}}{{2\sqrt x }} \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2dt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = 9 \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\).

Khi đó ta có \(\int\limits_1^9 {\dfrac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} = 2\int\limits_1^3 {f\left( t \right)dt} = 4\).

\( \Rightarrow \int\limits_1^3 {f\left( t \right)dt} = 2 \Rightarrow \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 2\).

Xét tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} \).

Đặt \(u = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 0\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow u = 1\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} = \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = 2\) \( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2\).

Vậy \(I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 2 + 2 = 4.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.