Cho tam giác ABC vuông tại A, các đường phân giác BM và CN. Chứng minh bất đẳng thức
Cho tam giác ABC vuông tại A, các đường phân giác BM và CN. Chứng minh bất đẳng thức \(\dfrac{{\left( {MC + MA} \right).\left( {NB + NA} \right)}}{{MA + NA}} \ge 3 + 2\sqrt 2 \)?
Quảng cáo
Áp dụng định lý pytago trong tam giác vuông và bất đẳng thức coossi.
Vì BM, CN lần lượt là phân giác ABC nên theo tích chất phân giác ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{MC}}{{MA}} = \dfrac{{BC}}{{AB}} \Rightarrow \dfrac{{MC + MA}}{{MA}} = 1 + \dfrac{{BC}}{{AB}}\\\dfrac{{NB}}{{NA}} = \dfrac{{BC}}{{AC}} \Rightarrow \dfrac{{BN + NA}}{{NA}} = 1 + \dfrac{{BN}}{{AN}}\end{array}\)
\(\dfrac{{\left( {MC + MA} \right).\left( {NB + NA} \right)}}{{MA + NA}} = \left( {1 + \dfrac{{BC}}{{AB}}} \right)\left( {1 + \dfrac{{BN}}{{AN}}} \right)\)\( = 1 + \dfrac{{B{C^2}}}{{AB.AC}} + \dfrac{{BC}}{{AB}} + \dfrac{{BC}}{{AC}}\).
Áp dụng định lý pytago tam giác vuông ABC và BĐT cosi cho 2 số âm.
Ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \ge 2AB.AC \Rightarrow \dfrac{{B{C^2}}}{{AB.AC}} \ge 2\).
\(\dfrac{{BC}}{{AB}} + \dfrac{{BC}}{{AC}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{BC}}{{AB}}.\dfrac{{BC}}{{AC}}} \)
\( \Rightarrow \dfrac{{\left( {MC + MA} \right).\left( {NB + NA} \right)}}{{MA + NA}} \ge 1 + 2 + 2\sqrt 2 = 3 + 2\sqrt 2 \) (đpcm).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
