Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y

Câu hỏi số 404757:

Vận dụng

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 2mx + 2m + 3\).

a) Chứng minh đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi \({y_1},{y_2}\) lần lượt là tung độ các giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\). Tìm tất cả các giá trị \(m\) để \({y_1} + {y_2} \le 5.\)

A. \(b)\,\,m = - 1\)

B. \(b)\,\,m = - 2\)

C. \(b)\,\,m = - \frac{1}{2}\)

D. \(b)\,\,m = - \frac{1}{4}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404757

Phương pháp giải

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị hàm số.

Đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0.\)

b) Hoành độ các giao điểm của hai đồ thị là nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) của phương trình (*).

Khi đó hai tung độ giao điểm lần lượt là: \({y_1} = 2m{x_1} + 2m + 3\,\,;\,\,{y_2} = 2m{x_2} + 2m + 3.\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right..\)

Áp dụng hệ thức bài cho để tìm \(m.\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là:

\({x^2} = 2mx + 2m + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 2m - 3 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)

Có: \(\Delta ' = {m^2} + 2m + 3 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 2 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \left( * \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

\( \Rightarrow \) \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi \({y_1},{y_2}\) lần lượt là tung độ các giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\). Tìm tất cả các giá trị \(m\) để \({y_1} + {y_2} \le 5.\)

Gọi \({x_1},{x_2}\) lần lượt là hoành độ hai giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\).

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}{y_1} = 2m{x_1} + 2m + 3\\{y_2} = 2m{x_2} + 2m + 3\end{array} \right.\) và \({x_1},{x_2}\) chính là hai nghiệm của \(\left( * \right).\)

Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = - 2m - 3\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có: \({y_1} + {y_2} \le 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2m{x_1} + 2m + 3 + 2m{x_2} + 2m + 3 \le 5\\ \Leftrightarrow 2m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4m + 6 \le 5\\ \Leftrightarrow 2m.2m + 4m + 6 - 5 \le 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2m + 1} \right)^2} \le 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2m + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,{{\left( {2m + 1} \right)}^2} \ge 0,\forall m \in \mathbb{R}} \right)\\ \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}\end{array}\)

Vậy \(m = - \frac{1}{2}\) thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link