Xét các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,x,\,\,y\) thỏa mãn \(a > 1,\,\,b > 1\) và \({a^x} = {b^y} = \sqrt

Câu hỏi số 405068:

Vận dụng cao

Xét các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,x,\,\,y\) thỏa mãn \(a > 1,\,\,b > 1\) và \({a^x} = {b^y} = \sqrt {ab} .\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + 2y\) thuộc tập hợp nào dưới đây ?

A. \(\left( {1;2} \right)\).

B. \(\left[ {2;\left. {\dfrac{5}{2}} \right).} \right.\)

C. \(\left[ {3;4).} \right.\)

D. \(\left[ {\dfrac{5}{2};3} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:405068

Phương pháp giải

Biểu diễn \(x,y\) theo \(a,b\) rồi thay vào biểu thức đánh giá GTNN.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{a^x} = {b^y} = \sqrt {ab} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {\log _a}\sqrt {ab} = \dfrac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right)\\y = {\log _b}\sqrt {ab} = \dfrac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_b}a} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow P = x + 2y = \dfrac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right) + 2.\dfrac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_b}a} \right)\\ = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}{\log _a}b + 1 + {\log _b}a\\ = \dfrac{3}{2} + \dfrac{{{{\log }_a}b}}{2} + \dfrac{1}{{{{\log }_a}b}}\end{array}\)

Vì \(a > 1,b > 1\) nên \({\log _a}b > 0\).

Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương \(\dfrac{{{{\log }_a}b}}{2},\,\,\dfrac{1}{{{{\log }_a}b}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{3}{2} + \dfrac{{{{\log }_a}b}}{2} + \dfrac{1}{{{{\log }_a}b}} \ge \dfrac{3}{2} + 2\sqrt {\dfrac{{{{\log }_a}b}}{2}.\dfrac{1}{{{{\log }_a}b}}} \\ = \dfrac{3}{2} + 2.\sqrt {\dfrac{1}{2}} \\ = \dfrac{{3 + 2\sqrt 2 }}{2} \approx 2,9 \in \left[ {\dfrac{5}{2};3} \right)\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.