Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{x + m}}{{x + 1}}\) (\(m\) là tham số thực). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) sao cho \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 2.\) Số phần tử của \(S\) là

Câu 405071: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{x + m}}{{x + 1}}\) (\(m\) là tham số thực). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) sao cho \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 2.\) Số phần tử của \(S\) là

A. \(6.\)

B. \(2.\)

C. \(1.\)

D. \(4.\)

Câu hỏi : 405071

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Biện luận các trường hợp.

Đáp án : B
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{1 - m}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}},\forall x \ne - 1\)

TH1: \(m = 1\) thì hàm số đã cho là \(f\left( x \right) = 1,\forall x \ne - 1\)

Do đó trên \(\left[ {0;1} \right]\) thì \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 1\)

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 2\) (thỏa mãn)

TH2: \(m \ne 1\) thì hàm số đơn điệu trên \(\left[ {0;1} \right]\) và \(f\left( 0 \right) = m;f\left( 1 \right) = \dfrac{{m + 1}}{2}\)

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 2\)\( \Leftrightarrow \left| m \right| + \left| {\dfrac{{m + 1}}{2}} \right| = 2\) (*)

+) Nếu \(m > 0\) thì

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow m + \dfrac{{m + 1}}{2} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{3m + 1}}{2} = 2\\ \Leftrightarrow 3m + 1 = 4 \Leftrightarrow m = 1\left( {loai} \right)\end{array}\)

+) Nếu \( - 1 < m < 0\) thì

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow - m + \dfrac{{m + 1}}{2} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{ - m + 1}}{2} = 2\\ \Leftrightarrow - m + 1 = 4 \Leftrightarrow m = - 3\left( {loai} \right)\end{array}\)

+) Nếu \(m < - 1\) thì

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow - m - \dfrac{{m + 1}}{2} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3m - 1}}{2} = 2\\ \Leftrightarrow - 3m - 1 = 4 \Leftrightarrow m = - \dfrac{5}{3}\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn là \(1\) và \( - \dfrac{5}{3}\).

Chú ý:
Ở phương trình (*) ta không được hiểu là \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| m \right|\) và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {\dfrac{{m + 1}}{2}} \right|\). Ở đây hai giá trị \(\max ,\min \) có thể đổi cho nhau nhưng do vai tròn trong bài toán là giống nhau nên ta viết luôn được pt (*).

Trường hợp bài cho mà vai trò của \(\max ,\min \) là khác nhau thì các em phải lập bảng biến thiên, biện luận ứng với từng TH của m để suy ra được max và min.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.