Đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) tiếp xúc với các cạnh \(BC,CA,AB\) lần lượt tại

Câu hỏi số 406181:

Vận dụng cao

Đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) tiếp xúc với các cạnh \(BC,CA,AB\) lần lượt tại \(M,N,P\). Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên \(NP.\)

Chứng minh: \(KM\) là tia phân giác \(\angle BKC.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:406181

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, chứng minh \(\frac{{KB}}{{KC}} = \frac{{MB}}{{MC}}.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(AB,\,\,AC,\,BC\) là các tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC.\)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MB = BP\\MC = CN\\AN = AP\end{array} \right..\)

Trên đoạn \(NP,\) ta lấy điểm \(K'\) sao cho \(\frac{{K'N}}{{K'P}} = \frac{{CN}}{{BP}}\).

Ta có \(\Delta ANP\) cân tại \(A\) nên \(\angle ANP = \angle APN\)

Lại có : \(\angle BPK' + \angle APN = {180^0}\) mà \(\angle CNK' + \angle ANP = {180^0}\) nên \(\angle BPK' = \angle CNK'\)

Xét \(\Delta BPK'\) và \(\Delta CNK'\) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{K'N}}{{K'P}} = \frac{{CN}}{{BP}}\,\\\angle BPK' = \angle CNK'\\ \Rightarrow \Delta BPK' \sim \Delta CNK'\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {BK'P} = \widehat {CK'N}\\\frac{{K'B}}{{K'C}} = \frac{{BP}}{{CN}} = \frac{{MB}}{{MC}}\end{array} \right.\end{array}\)

Mà \(\frac{{K'B}}{{K'C}} = \frac{{MB}}{{MC}}\) \( \Rightarrow K'M\) là phân giác của \(\angle BK'C\) mà \(\angle BK'P = \angle CK'N\)

Nên \(\angle MK'P = \angle MK'B + \angle BK'P\)\( = \frac{1}{2}\angle BK'C + \frac{1}{2}\left( {\angle BK'P + \angle CK'N} \right) = {90^0}\)

Suy ra \(MK' \bot NP\), vậy \(K' \equiv K\)

\( \Rightarrow KM\) là tia phân giác \(\angle BKC.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link