Cho \(x,y,z\) là các số thực thuộc đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) thỏa mãn điều kiện \(x + y + z =

Câu hỏi số 406182:

Vận dụng cao

Cho \(x,y,z\) là các số thực thuộc đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) thỏa mãn điều kiện \(x + y + z = 3\).

a) Chứng minh rằng \({x^2} + {y^2} + {z^2} < 6\).

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\).

A. \(b)\,\,{P_{\max }} = 8\)

B. \(b)\,\,{P_{\max }} = 9\)

C. \(b)\,\,{P_{\max }} = 10\)

D. \(b)\,\,{P_{\max }} = 6\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:406182

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz} \right)\).

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng \({x^2} + {y^2} + {z^2} < 6\).

Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \le 0\\y\left( {y - 2} \right) \le 0\\z\left( {z - 2} \right) \le 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \le 2\left( {x + y + z} \right) = 6\) .

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}z = 0\\z = 2\end{array} \right.\\x + y + z = 3\end{array} \right. \Rightarrow \) không tồn tại \(x,\,\,y,\,\,z\) để xảy ra dấu “=”.

Vậy \({x^2} + {y^2} + {z^2} < 6\).

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\).

Ta có: \(P = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz} \right)\)\( = 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz} \right)\)

\( = \frac{3}{2}\left[ {3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - {{\left( {x + y + z} \right)}^2}} \right]\)\( = \frac{3}{2}\left[ {3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - 9} \right]\)

Theo giả thiết ta có: \(\left( {2 - x} \right)\left( {2 - y} \right)\left( {2 - z} \right) \ge 0\)

\( \Rightarrow 8 - 4\left( {x + y + z} \right) + 2\left( {xy + yz + zx} \right) - xyz \ge 0\)

Từ đó, ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} \le {x^2} + {y^2} + {z^2} + 8 - 4\left( {x + y + z} \right) + 2\left( {xy + yz + zx} \right) - xyz\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {x + y + z} \right)^2} - 4\left( {x + y + z} \right) + 8 - xyz\\ = 5 - xyz \le 5\end{array}\)

Theo chứng minh trên thì \({x^2} + {y^2} + {z^2} \le 5\), từ đó ta suy ra \(P \le \frac{3}{2}.\left( {3.5 - 9} \right) = 9\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right)\) là một hoán vị của \(\left( {2;\,\,1;\,\,0} \right).\)

Vậy \({P_{\max }} = 9\).

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link