Cho hình chóp S.ABC có SA = a, tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đế mặt phẳng (SAC) bằng:
Câu 407609: Cho hình chóp S.ABC có SA = a, tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đế mặt phẳng (SAC) bằng:
A. \(\dfrac{{a\sqrt {42} }}{7}\)
B. \(\dfrac{{a\sqrt {42} }}{{14}}\)
C. \(\dfrac{{a\sqrt {42} }}{{12}}\)
D. \(\dfrac{{a\sqrt {42} }}{6}\)
Quảng cáo
- Gọi H là trung điểm của AB, chứng minh \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).
- Sử dụng phương pháp đổi đỉnh, đổi sang tính khoảng cách từ H đến (SAC).
- Sử dụng phương pháp 3 nét để dựng khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên.
- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
-
Đáp án : A(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB vuông cân tại S nên \(SH \bot AB\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right);\,\,SH \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, AM. Do tam giác ABC đều nên \(BM \bot AC\), mà \(HN\parallel BM\) (do HN là đường trung bình của tam giác ABM) \( \Rightarrow HN \bot AC\).
Trong (SHN) kẻ \(HK \bot SN\,\,\left( {K \in SN} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AC \bot HN\\AC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SHN} \right) \Rightarrow AC \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SN\\HK \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SAC} \right)\\ \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = HK\end{array}\)
Lại có: \(BH \cap \left( {SAC} \right) = A \Rightarrow \dfrac{{d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \dfrac{{BA}}{{HA}} = 2\).
\( \Rightarrow d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = 2HK\).
Tam giác SAB vuông cân tại S, có SA = a \( \Rightarrow AB = SA\sqrt 2 = a\sqrt 2 \) và \(SH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
\( \Rightarrow \) Tam giác ABC đều cạnh \(a\sqrt 2 \) \( \Rightarrow BM = a\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\) \( \Rightarrow HN = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHN có:
\(HK = \dfrac{{SH.HN}}{{\sqrt {S{H^2} + H{N^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{3{a^2}}}{8}} }} = \dfrac{{a\sqrt {42} }}{{14}}\).
Vậy \(d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = 2HK = \dfrac{{a\sqrt {42} }}{7}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
