Cho hình chóp S.ABC có SA = a, tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng

Câu hỏi số 407609:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABC có SA = a, tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đế mặt phẳng (SAC) bằng:

\frac{a \sqrt{42}}{7}

$\dfrac{{a\sqrt {42} }}{7}$

\frac{a \sqrt{42}}{14}

$\dfrac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$

\frac{a \sqrt{42}}{12}

$\dfrac{{a\sqrt {42} }}{{12}}$

\frac{a \sqrt{42}}{6}

$\dfrac{{a\sqrt {42} }}{6}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:407609

Phương pháp giải

- Gọi H là trung điểm của AB, chứng minh $SH \bot \left( {ABC} \right)$ .

- Sử dụng phương pháp đổi đỉnh, đổi sang tính khoảng cách từ H đến (SAC).

- Sử dụng phương pháp 3 nét để dựng khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên.

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB vuông cân tại S nên $SH \bot AB$ .

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right);\,\,SH \bot AB\end{array} \right.$ $\Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)$ .

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, AM. Do tam giác ABC đều nên $BM \bot AC$ , mà $HN\parallel BM$ (do HN là đường trung bình của tam giác ABM) $\Rightarrow HN \bot AC$ .

Trong (SHN) kẻ $HK \bot SN\,\,\left( {K \in SN} \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AC \bot HN\\AC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SHN} \right) \Rightarrow AC \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SN\\HK \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SAC} \right)\\ \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = HK\end{array}$

Lại có: $BH \cap \left( {SAC} \right) = A \Rightarrow \dfrac{{d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \dfrac{{BA}}{{HA}} = 2$ .

$\Rightarrow d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = 2HK$ .

Tam giác SAB vuông cân tại S, có SA = a $\Rightarrow AB = SA\sqrt 2 = a\sqrt 2$ và $SH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$ .

$\Rightarrow$ Tam giác ABC đều cạnh $a\sqrt 2$ $\Rightarrow BM = a\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$ $\Rightarrow HN = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHN có:

$HK = \dfrac{{SH.HN}}{{\sqrt {S{H^2} + H{N^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{3{a^2}}}{8}} }} = \dfrac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$ .

Vậy $d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = 2HK = \dfrac{{a\sqrt {42} }}{7}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.