Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 2m\). Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số thực m để đồ

Câu hỏi số 407608:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 2m\). Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng?

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(0\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:407608

Phương pháp giải

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, giả sử phương trình 3 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

- Áp dụng tính chất CSC: Nếu ba số a, b, c theo thứ tự lập thành 1 CSC thì \(a + c = 2b\).

- Sử dụng định lí Vi-ét của phương trình bậc ba \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có 3 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) thì \({x_1} + {x_2} + {x_3} = - \dfrac{b}{a}\).

- Tìm \({x_2}\) theo m, thay nghiệm \({x_2}\) vào phương trình ban đầu tìm m.

- Thử lại các giá trị m tìm được.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - 3m{x^2} + 2m = 0\) (*).

Giả sử phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng, theo tính chất của cấp số cộng ta có: \({x_1} + {x_3} = 2{x_2}\).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} + {x_3} = 3m\) \( \Rightarrow 3{x_2} = 3m \Leftrightarrow {x_2} = m\).

Vì \({x_2} = m\) là 1 nghiệm của phương trình (*) nên ta có:

\(\begin{array}{l}{m^3} - 3m.{m^2} + 2m = 0\\ \Leftrightarrow - 2{m^3} + 2m = 0\\ \Leftrightarrow 2m\left( { - m^2 + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \pm 1\end{array} \right.\end{array}\)

Thử lại:

+ Với \(m = 0\), phương trình trở thành \({x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (loại).

+ Với \(m = 1\), phương trình trở thành \({x^3} - 3{x^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1 - \sqrt 3 \\{x_2} = 1\\{x_3} = 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\) và 3 nghiệm này lập thành 1 CSC.

+ Với \(m = -1\), phương trình trở thành \({x^3} + 3{x^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} =- 1 - \sqrt 3 \\{x_2} = -1\\{x_3} = -1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\) và 3 nghiệm này lập thành 1 CSC.

Vây có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m =\pm 1\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.