Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số\(m \in \left[ { - 1;1} \right]\) sao cho phương trình

Câu hỏi số 409284:

Vận dụng cao

Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số\(m \in \left[ { - 1;1} \right]\) sao cho phương trình \({\log _{{m^2} + 1}}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {\log _2}\left( {2x + 2y - 2} \right)\) có nghiệm nguyên \(\left( {x;y} \right)\) duy nhất.

A. \(3\).

B. \(2\).

C. \(1\).

D. \(0\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:409284

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ t.

Biến đổi các biểu thức theo t rồi biện luận để tìm m.

Giải chi tiết

Đặt \({\log _{{m^2} + 1}}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {\log _2}\left( {2x + 2y - 2} \right) = t\)(1)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = {\left( {{m^2} + 1} \right)^t}\\2x + 2y - 2 = {2^t}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = {\left( {{m^2} + 1} \right)^t}\\x = {2^{t - 1}} + 1 - y\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {{2^{t - 1}} + 1 - y} \right)^2} + {y^2} = {\left( {{m^2} + 1} \right)^t}\\ \Leftrightarrow 2{y^2} - 2y\left( {{2^{t - 1}} + 1} \right) + \left[ {{{\left( {{2^{t - 1}} + 1} \right)}^2} - {{\left( {{m^2} + 1} \right)}^t}} \right] = 0(*)\end{array}\)

Phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {{2^{t - 1}} + 1} \right)^2} - 2\left[ {{{\left( {{2^{t - 1}} + 1} \right)}^2} - {{\left( {{m^2} + 1} \right)}^t}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{m^2} + 1} \right)^t} = {\left( {{2^{t - 1}} + 1} \right)^2}\\ \Rightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {\left( {x + y} \right)^2}\\ \Rightarrow x = y\end{array}\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} = {\left( {{m^2} + 1} \right)^t}\\4x - 2 = {2^t}\end{array} \right.\).

Theo bài ra ta có: \(m \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow {m^2} + 1 \le 2 \Rightarrow {\left( {{m^2} + 1} \right)^t} \le {2^t}\).

\( \Rightarrow 2{x^2} \le 4x - 2 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 2 \le 0\) \(2{\left( {x - 1} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Vậy có 2 số thực m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.