Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x =1 và x = 2 , biết rằng thiết diện của

Câu hỏi số 410208:

Thông hiểu

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x =1 và x = 2 , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x , (1 ≤ x ≤ 2) là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là \(x\) và \(\sqrt {{x^2} + 3} \).

A. \(\dfrac{{7\sqrt 7 - 8}}{3}\).

B. \(\dfrac{{16\sqrt 2 - 7}}{3}\).

C. \(\dfrac{{8\sqrt 7 - 7}}{3}\).

D. \(8\sqrt 2 - 4\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:410208

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức tính thể tích \(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)} \,dx\), \(S\left( x \right)\) là diện tích mặt cắt của hình bởi mặt phẳng qua hoành độ x và vuông góc Ox.

- Tích tích phân bằng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 3} \).

Giải chi tiết

Diện tích mặt cắt là: \(S\left( x \right) = x\sqrt {{x^2} + 3} \)

Thể tích của vật thể đó là: \(V = \int\limits_1^2 {S\left( x \right)} \,dx = \int\limits_1^2 {x\sqrt {{x^2} + 3} } \,dx\).

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 3} \)\( \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 3 \Rightarrow tdt = xdx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 2\\x = 2 \Rightarrow t = \sqrt 7 \end{array} \right.\).

\( \Rightarrow V = \int\limits_2^{\sqrt 7 } {t.tdt} = \left. {\dfrac{{{t^3}}}{3}} \right|_2^{\sqrt 7 } = \dfrac{{7\sqrt 7 - 8}}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.