Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của \(m\) để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Câu hỏi số 411294:

Vận dụng

Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của \(m\) để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 5\) đều có hệ số góc dương. Số phần tử của tập \(S\) là:

A. Vô số

B. \(4\)

C. \(3\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:411294

Phương pháp giải

- Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\) là \(k = y'\left( {{x_0}} \right)\).

- Xét dấu tam thức bậc hai: \(a{x^2} + bx + c > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.

Ta có \(y' = 3{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 1\).

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\) là \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_0} + m - 1\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}k > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow 3x_0^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_0} + m - 1 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 3\left( {m - 1} \right) < 0\,\end{array} \right.\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - 3m + 3 < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 5m + 4 < 0\\ \Leftrightarrow 1 < m < 4\end{array}\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow S = \left\{ {2;3} \right\}\).

Vậy tập hợp \(S\) có 2 phần tử.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.