Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) biết \(f\left( 0 \right) = \dfrac{1}{2}\) và \(f'\left( x \right) =

Câu hỏi số 411293:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) biết \(f\left( 0 \right) = \dfrac{1}{2}\) và \(f'\left( x \right) = x{e^{{x^2}}}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \(\dfrac{{e + 1}}{2}\)

B. \(\dfrac{{e - 1}}{2}\)

C. \(\dfrac{{e - 1}}{4}\)

D. \(\dfrac{{e + 1}}{4}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:411293

Phương pháp giải

- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Sử dụng phương pháp đổi biến số sau đó tiếp tục sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = xdx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{{{x^2} - 1}}{2}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx} = \left. {\dfrac{{{x^2} - 1}}{2}f\left( x \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2} - 1}}{2}f'\left( x \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}f\left( 0 \right) - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 1} \right).x{e^{{x^2}}}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}I = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2}I\end{array}\)

Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\left( {t - 1} \right){e^t}dt} = \dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_0^1 {t{e^t}dt} - \int\limits_0^1 {{e^t}dt} } \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\left. {t.{e^t}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^t}dt} - \int\limits_0^1 {{e^t}dt} } \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {e - \left. {2{e^t}} \right|_0^1} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {e - 2e + 2} \right) = \dfrac{{2 - e}}{2}\end{array}\)

Vậy \(\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2}I = \dfrac{1}{4} - \dfrac{{2 - e}}{4} = \dfrac{{e - 1}}{4}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.