Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = f\left( x \right) =

Câu hỏi số 413011:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{{m{x^3}}}{3} + 7m{x^2} + 14x - m + 2\) giảm trên nửa khoảng \(\left[ {1; + \infty } \right)\)?

A. \(\left( { - \infty ; - \dfrac{{14}}{{15}}} \right)\)

B. \(\left( { - \infty ; - \dfrac{{14}}{{15}}} \right]\)

C. \(\left[ { - 2; - \dfrac{{14}}{{15}}} \right]\)

D. \(\left[ { - \dfrac{{14}}{{15}}; + \infty } \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:413011

Phương pháp giải

- Tính \(y'\).

- Xét 2 TH: \(m = 0\) và \(m \ne 0\).

- Đối với trường hợp \(m \ne 0\): Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng \(\left[ {1; + \infty } \right)\) .

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} g\left( x \right)\).

- Lập BBT hàm số \(g\left( x \right)\) và kết luận.

Giải chi tiết

Hàm số đã cho xác định trên \(\left( {1;3} \right)\).

TH1: \(m = 0\), hàm số trở thành \(y = f\left( x \right) = 14x + 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), khi đó hàm số không thể giảm trên nửa khoảng \(\left[ {1; + \infty } \right)\), suy ra \(m = 0\) không thỏa mãn.

TH2: \(m \ne 0\).

Ta có: \(y' = m{x^2} + 14mx + 14\) .

Hàm số giảm trên nửa khoảng \(\left[ {1; + \infty } \right)\) \( \Rightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m{x^2} + 14mx + 14 \le 0\,\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m\left( {{x^2} + 14x} \right) \le - 14\,\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \le \dfrac{{ - 14}}{{{x^2} + 14x}}\,\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} g\left( x \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{ - 14}}{{{x^2} + 14x}}\,\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\).

\(g'\left( x \right) = \dfrac{{14\left( {2x + 14} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 14x} \right)}^2}}}\), \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 14 = 0 \Leftrightarrow x = - 7\).

BBT:

Vậy \(m \le - \dfrac{{14}}{{15}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.